Perpendicular comum a duas retas reversas

Problema 2.8 de [1]

Construção geométrica relativa ao probllema 2.8 da seção 7.2 de [1]. Dadas duas retas reversas

, prove que a perpendicular comum a ambas e única. 1. A. C. Muniz Neto, Geometria, SBM, 2016.

1. Com a ferramenta “Reta”, construa duas retas reversas

. 2. Marque um ponto

na reta

. Em seguida, com a ferramenta “Reta paralela”, trace a reta

passando por

e paralela à reta

. 3. Construa o plano

que contém as retas

. 4. Com a ferramenta “Reta perpendicular”, trace a reta

perpendicular ao plano

passando pelo ponto

. 5. Construa, com a ferramenta “Plano”, o plano

que contém as retas

Observação: O plano é perpendicular à reta . De fato, como e , segue que é paralela ao plano . Como a reta é perpendicular ao plano , ela é perpendicular a qualquer reta paralela a esse plano, em particular à reta . Como , conclui-se que o plano é perpendicular à reta .

6. Marque o ponto

como sendo a interseção da reta

com o plano

. 7. Com a ferramenta “Reta paralela”, trace a reta

paralela à reta

passando pelo ponto

. 8. A reta

é perpendicular às retas

, como desejado. Unicidade da reta A reta

é única. De fato, o ponto

é o único ponto de interseção entre a reta

e o plano

. Além disso, por um ponto dado passa uma única reta paralela a uma reta fixa

. Como

é definida como a reta paralela a

passando por

, conclui-se que essa reta é única.