Extra macht van een punt ten opzichte van een cirkel
Definitie
De macht van een punt P ten opzichte van een cirkel C met middelpunt M en straal r is het verschil van twee kwadraten: het kwadraat van de afstand van P tot het M en het kwadraat van de straal.
Onderzoek de macht van P voor verschillende posities van P. Wat merk je?
Eigenschap P buiten de cirkel
Probeer verschillende posities van P en A. Probeer voor verschillende stralen. Formuleer de eigenschap. Start bv. met: voor elke koorde van een cirkel C waarvan de drager door P gaat is ...
Bewijs in 2 stappen
We bewijzen:
"Voor elke koorde van een cirkel waarvan de drager door P gaat is het product van de afstanden van de koordegrenspunten tot P constant."
De clou van het bewijs
Om te bewijzen dat IPSI.IPTI = IPAI.IPBI, is het voldoende aan te tonen dat
Dat klopt als driehoek PBS gelijkvormig is met driehoek PAT.
Dat lijkt op de figuur te kloppen. We vullen de figuur aan en bewijzen nu formeel.
Het bewijs
Voor de blauwe driehoek TPA en de groene driehoek BPS geldt:
de hoek in T = de hoek in B (omtrekshoeken op dezelfde cirkelboog)
de hoek in P = de hoek in P (het is dezelfde hoek)
Dus de beide driehoeken zijn gelijkvormig wegens het kenmerk HH
Dus wegens de eigenschap van overeenkomstige zijden in gelijkvormige driehoeken
Dus wegens de hoofdeigenschap van de evenredigheden
IPTI.IPSI = IPAI.IPBI
Dus wegens de hoofdeigenschap van de evenredigheden
IPTI.IPSI = IPAI.IPBIBewijs in 2 stappen
We onderzoeken het bijzondere geval van een koorde waarvan de grenspunten samenvallen.
Beweeg S totdat de halfrechte door P en S slechts 1 snijpunt heeft met de cirkel en S en T dus samenvallen. Welk soort rechte is PS dan?
Leg uit waarom IPTI² in dat geval duidelijk gelijk is aan IPMI² - r².
Eigenschap P binnen de cirkel
Probeer verschillende posities van P en A. Probeer voor verschillende stralen. Formuleer de eigenschap. Start bv. met: elk punt P van een koorde van de cirkel C ...
De clou van het bewijs
Opnieuw zullen we met gelijkvormige driehoeken aantonen dat het product constant is. Dat dit product de macht van P ten opzichte van de cirkel is, toonden we eerder aan.
We tekenden de middellijn [CD]. De blauwe en groene driehoek zijn gelijkvormig wegens HH. Leg uit.