Costruzione quadrilatero ciclico - 3
Costruire un quadrilatero ciclico convesso, conoscendo le lunghezze dei suoi lati in un ordine dato.
La costruzione con relativa dimostrazione segue quanto proposto come risposta ad un quesito nel forum del sito math.stackexchange.com reperibile all'indirizzo: https://math.stackexchange.com/questions/1041170/constructing-a-cyclic-quadrilateral-of-given-sides.
Naturalmente si suppone l’esistenza del quadrilatero convesso e questo si verifica quando la somma delle lunghezze di tre lati è sempre maggiore del quarto lato.
Consideriamo la relazione, valida per i quadrilateri ciclici,
tan(α/2) = √[(p − a)(p − d)/((p − b)(p − c))],
dove p è il semiperimetro del quadrilatero: p = (a + b + c + d)/2 e α l’angolo relativo al vertice A. Una volta calcolata la tan(α/2) è possibile costruire il quadrilatero ciclico ABCD:- Costruiamo il punto C e la circonferenza di centro C e raggio tan(α/2). Vincoliamo un punto L alla circonferenza e tracciamo la retta CL e la retta ad essa perpendicolare per L. Tracciamo la circonferenza di centro L e raggio unitario e la intersechiamo con la perpendicolare nei punti M e N. Tracciamo le rette CM e CN. Il triangolo CMN è isoscele su base MN e per costruzione gli angoli alla base hanno ampiezza α/2. L’angolo ∠MCN è quindi supplementare ad α.
- Costruiamo il punto B intersezione tra la circonferenza di centro C e raggio b e la retta CM.
- Costruiamo il punto D intersezione tra la circonferenza di centro C e raggio c e la retta CN.
- Costruiamo il punto A intersezione tra la circonferenza di centro B e raggio a e la circonferenza di centro D e raggio d.
Nella figura dinamica il segmento di lunghezza tan(α/2), per non appesantirla, non viene costruito geometricamente ma "calcolato". La costruzione con riga e compasso del segmento di lunghezza tan(α/2) si trova all'indirizzo https://www.geogebra.org/m/qmyjzpcb.