Medie a confronto
Questa attività mostra geometricamente quattro diverse medie di due valori reali non negativi a, b:
- AM = aritmetica,
- GM = geometrica,
- QM = quadratica,
- HM =armonica
I valori di a e b sono visualizzati dinamicamente come segmenti sul diametro di una semicirconferenza, e possono essere modificati muovendo il punto X.
Muovi il punto X per visualizzare geometricamente le medie di a e b ed esplorare la disuguaglianza
.
Algebricamente...
Ricordando le espressioni che definiscono le medie di due numeri :
- quadratica
- aritmetica
- geometrica
- armonica
possiamo quindi dire che vale la disuguaglianza .
Una domanda:
Per quali valori di a e b vale l'uguaglianza tra le medie?
La disuguaglianza AM-GM
La disuguaglianza detta AM-GM è particolarmente nota nella sua forma generale: dati n numeri reali , si ha che .