Extremos relativos y absolutos (I)
Máximos, mínimos y puntos críticos para funciones de una variable.
Análisis de puntos críticos para funciones de una variable.
El estudio de los máximos y mínimos de funciones de varias variables es de los más relevantes en todo tipo de disciplina. Es usual necesitar maximizar la ganancia de un producto, saber la temperatura máxima que acepta un cierto material antes de perder sus propiedades, estudar la eficiencia máxima de una máquina, etc. El estudio de los extremos, como se suele llamar a los máximos y mínimos de una función, es entonces un tema central en el estudio de las funciones de varias variables.
Una función tiene un mínimo (respectiamente máximo) relativo en si existe un , tal que si entonces (respectivamente ).
El análisis de los extremos, relativos o absolutos (a veces se dicen también "locales" o "globales" respectivamente), tiene un paralelo con el estudio de los extremos para funciones de una variable.
Comencemos entonces recordando con un ejemplo concreto cómo se estudian los extremos para funciones de una variable.
Consideremos . Queremos encontrar sus máximos y mínimos relativos y en qué puntos se alcanzan. Lo primero es recordar que si tiene un extremos en entonces . Es decir que es un punto crítico de la función (recordemos que es un punto crítico si ). Por lo tanto lo primero que hacemos es buscar los "candidatos" a máximos y mínimos, es decir los punto críticos.
Deducimos que los puntos críticos son .
¿Cómo reconocemos ahora si los puntos críticos son máximos o mínimos locales, o si no lo son?
Recordemos que un punto crítico no tiene porqué ser un máximo o un mínimo. Por ejemplo, la función tiene un punto crítico en , que no es ni un máximo ni un mínimo local. La función allí toma el valor cero, pero arbitrariamente cerca a dicho punto crítico la función toma valores superiores a cero (positivos) e inferiores a cero (negativos).
Cuando se quiere saber el comportamiento de una función cerca de un punto, se debe estudiar primero el desarrollo de Taylor de la función en dicho punto.
En un punto crítico tenemos,
No incluimos el término ya que . También escribimos en el miembro de la derecha por la siguiente razón. Si el miembro derecho es mayor o igual a cero cerca de , entonces , o cuando está cerca de . Por lo tanto tendría en un mínimo relativo o local. Si el miembro derecho es menor o igual a cero cuando está cerca de , entonces tiene en un máximo local. El punto es que lo que determina el signo de miembro derecho es el primer término que no es cero en la serie de Taylor.
Veamos esto en el punto crítico de la función en consideración .
Reconocemos primero que la función es un polinomio en o . Como el desarrollo de Taylor es único, este polinomio de orden cuatro es el polinomio de Taylor de de orden o mayor, ya que la máxima potencia de es .
Ahora, cerca de cero, es decir cuando toma valores pequeños, el término que domina en el desarrollo es el cuadrático y no el cuártico . Es decir, el comportamiento de la función cerca de cero es establecido por la función . Una forma rigurosa de ver esto es escribir,
ya que cuando . En suma, tenemos,
cuando . Es decir, el punto crítico es un máximo local.
Analizamos el comportamiento ahora en . El desarrollo de Taylor de orden calculado en es,
De hecho, este polinomio coincide con la función ! La única diferencia es que es una suma en potencias de (recordemos que estamos desarrollando en ) y no en potencias de . ¿Puede dar una prueba que ? ¿Cuál es ? ¿Y ? ¿Puede demostrar que cuando ?
Tenemos entonces,
El término de menor orden del miembro derecho es y es el que dicta el comportamiento de cerca de . Eso se puede hacer de la misma manera que en el punto crítico , tomando a como factor común.
Por lo tanto cuando está cerca de , y por lo tanto la función tiene un mínimo local o mínimo relativo en .
Como , la función tiene también un mínimo local en .
Con ésta información es fácil deducir el comportamiento global de la función. El gráfico se muestra más abajo.
Recapitulando, hicimos lo siguiente:
1 - Se hallan los puntos críticos.
2- Se analiza el comportamiento local de la función en un entorno de los puntos críticos a partir del desarrollo de Taylor en esos puntos.
Una vez que se tiene la información y clasificación de los puntos críticos, debe recolectarse toda la información general para decidir si hay máximos y mínimos local y cuales son. En este caso, el valor mínimo global o absoluto de es y se alcanza en . En hay un máximo local o relativo. Estríctamente hablando la función no tiene un máximo global ya que diverge a infinito cuando tiende a o .
Ejemplo. La figura debajo muestra la gráfica de la función , los tres puntos críticos y las gráficas en rojo de los desarrollos de Taylor a orden dos en cada punto, pero graficadas en pequeños entornos de esos puntos (dónde son una buena aproximación).