Tangentes a la cónica por involución
Dada la cónica sobredeterminada por seis puntos compatibles, calcular las tangentes (por polaridad) en los puntos 4 y 5.
Este problema está sobredefinido, la cónica sólo requiere 5 puntos, pero el sexto se podría determinar de manera similar a la que se muestra aquí.
Determinar las tangentes a la cónica desde 4 y 5 es equivalente a determinar el polo (C') de la recta entre esos dos puntos, dado que las tangentes han de pasar por él. Este polo es el homólogo del punto C, punto de corte entre la recta 4-5 y la polar de P, en la involución subordinada sobre esta última recta.
La polar de se puede determinar determinando puntos separados armónicamente, y a un mismo tiempo se pueden determinar las parejas de puntos A-A' y B-B' homólogos en la involución. La determinación de C' puede hacerse de diversas maneras, por ejemplo separando las series por una recta paralela por un punto cualquiera H (obteniendo la serie A''-B''), determinando el eje proyectivo de las series en involución, y con ello C'', y por ende C'.
Nótese que al tratarse de una involución el punto límite de cada serie es el centro de la involución, y al separar las series paralelas el eje proyectivo de las series ha de pasar por los puntos límites (al ser el punto de corte de las bases el punto impropio). Eso se traduce en que el eje proyectivo ha de ser paralelo a la dirección en la que se separan las series (en este caso las flechas cyan).