Hiperboloides
- Tema:
- Sólidos, Superficie
El hiperboloide de revolución es la superficie generada al girar una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Si tomamos el eje que no corta a la hipérbola, se obtiene un hipeboloide de una hoja, y tomando el otro eje, un hiperboloide de dos hojas.
Además, el hiperboloide de una hoja es una superficie reglada que se obtiene como la superficie de revolución correspondiente a un segmento/recta que no esté contenido en un plano que pase por el eje. De las cirunferencias obtenidas, la de menor radio se denomina cintura, y el hiperboloide se obtiene al hacer girar una recta alrededor de esta cintura.
Visto como cuádrica, podemos considerar el hiperboloide como una generalización del anterior, cambiando la "cintura" por una elipse. Su ecuación implícita reducida es
La cintura, es la elipse , que podemos parametrizar mediante . En el caso del hiperboloide de revolución, será una circunferencia de radio r, (igual a los parámetros a y b).
Parametrizaciones del hiperboloide
Considerando las identidades trigonométricas , podemos pasar de la ecuación implícita a las ecuaciones paramétricaspara .
Para el hiperboloide de revolución, las ecuaciones se corresponden con la superficie generada al hacer girar la hipérbola , cuya ecuación implícita será
Considerando que, para cualesquiera p,q, , podríamos usar alguna de las dos posibles parametrizaciones referidas a las rectas del hiperboloide que, usando la ecuación del hiperboloide: Notar que, la rectas que pasan por un punto de la cintura de la forma , tienen como vector director . En particular, la tangente del ángulo formado por estas rectas y el eje de giro es que, en el caso del hiperboloide de revolución, será constante .
También, podemos utilizar la identidad trigonométrica anterior para, dado m>0, reescribir las ecuaciones comoVectorialmentePor tanto, para cada valor de u, tenemos la intersección del hiperboloide con el plano que pasa por el punto correspondiente de la cintura y forma un ángulo con el eje, tal que , donde . Despejando m en la ecuación anterior, podemos elegir el ángulo del plano de corte, tomando , válida siempre que el ángulo sea menor que el formado por las rectas del hiperboloide.
