Lezione 2: y= cosx forma sintetica dell'approssimazione della funzione coseno con un polinomio intorno a zero
Scrittura sintetica del polinomio approssimante attraverso l'utilizzo del simbolo di sommatoria
- segni alternati per i termini posti in ordine crescente;
- solo le potenze pari poste in ordine crescente;
- denominatori dei vari termini possono essere scritti utilizzando l'operatore fattoriale.
Come puoi tradurre in modo sintetico il fatto che nello sviluppo del polinomio approssimante i segni sono alternati? .
Abbiamo già osservato la sequenza dei segni nello sviluppo del polinomio approssimante.
....
che equivale alla seguente sequenza:
....
che equivale a:
Scrivi una potenza generica, con base -1, che produce questa sequenza di segni?
Come puoi tradurre in modo sintetico il fatto che le potenze di x che compaiono nei termini del polinomio P_12(x) sono solo pari?
1. L'affermazione “solo potenze pari” significa scrivere l'esponente della potenza generica con un numero pari. Quale espressione indica che è un numero pari? 2. Come puoi scrivere la potenza generica , con esponente pari, che compare nel polinomio approssimante?
Come puoi esprimere in modo sintetico il denominatore del coefficiente numerico del termine n-esimo del polinomio P_12(x)?
Da osservazioni precedenti, abbiamo dedotto che al denominatore del coefficiente numerico di ogni termine del polinomio compare il fattoriale dell'esponente. Come puoi scrivere il denominatore generico che compare nei termini del polinomio ?
Scrittura sintetica del polinomio P_12(x) , utilizzando il simbolo di sommatoria
Dopo aver trovato qual è :
1) indica la forma del generico termine del polinomio e
2) scrivi, in modo sintetico, il polinomio , utilizzando il simbolo di sommatoria.
N.B. Ricorda che puoi scrivere agilmente la formula utilizzando Equation di Word e poi incollandola nello spazio risposta.
Alleghiamo immagine della schermata che avrai a disposizione per scrivere formule con Microsoft word :
Visualizzazione con Geogebra della funzione coseno e del polinomio approssimante P_12(x)
- inserisci
- inserisci il polinomio usando il comando somma, considerato che trovato l'espressione generica del singolo termine del polinomio:
- sigma maiuscolo), utilizzato per esprimere la somma di termini dello stesso tipo che compaiono in una espressione (termine generico della somma); tale termine dipenderà da un indice (nel comando viene detto variabile); al variare di tale indice (che assume valori numerici interi) si avranno i vari termini da sommare. Tale indice parte da un valore iniziale (che viene posto come limite inferiore della sommatoria) e ogni volta verrà incrementato di 1 sino ad un valore finale (che viene posto come limite superiore della sommatoria) che dovrà essere tale da dare il grado voluto del polinomio.
inserisci :
=somma() .
Potrai così osservare quanto sia già buona l'approssimazione della funzione y=cosx attraverso il polinomio ) , non solo in un intorno di
visualizzazione della approssimazione della funzione y=cosx tramite il polinomio P_12(x)
Miglioramento del polinomio approssimante P_12(x)
Come per la funzione esponenziale , aggiungendo termini al polinomio approssimante, ovvero aumentando il grado del polinomio, otterremo una approssimazione migliore della funzione . Scrivi, utilizzando il simbolo di sommatoria , il polinomio approssimante la funzione , con un limite superiore non fisso, ma variabile. Chiamaiamo tale limite superiore. In questo modo potremo avere un polinomio del grado voluto.
Visualizzazione del polinomio di grado n , utilizzando geogebra
- inserisci
- inserisci il polinomio nel seguente modo usando la formula somma: =somma() .
- è uno slider che automaticamente comparirà e ti permetterà di aumentare a tuo piacere i termini della somma e avere polinomi che sempre più si adagiano sulla funzione esponenziale intorno allo zero. Nelle impostazioni dello slider assegna ad come valore minimo lo zero e come valore massimo un valore alto, per esempio 50. Ti accorgerai che il polinomio con un grado alto , approssimerà molto bene la funzione esponenziale non solo in un intorno di
Visualizzazione del polinomio approssimante la funzione coseno al variare del grado del polinomio P_n(x), attraverso Geogebra
Considerazioni finali
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