Espacio hiperbólico: Geodésica y Plano o Punto (propio o impropio)

Autor:José Luis García Heras

Representación geométrica en el Semiespacio de Poincaré de una geodésica y un Plano o un Punto (proio o impropio), cuyas matrices asociadas determinan una geodésica que puede ser secante o perpendicular al plano, o contener al punto, según el caso

Fundamentos: Modelo sl₂(C) del espacio hiperbólico (sl₂(C): matrices 2x2 de entradas complejas en la diagonal principal, un complejo y el opuesto de su conjugado, y números reales en la diagonal secundaria)
Fuente: "Construcción de polígonos hiperbólicos y aplicación a las regiones fundamentales de grupos NEC" (José Luis García Heras; Tesis, UNED 2006)

También pude verse Gometría hiperbólica elemental.
Más sobre Geometría hiperbólica: Maplesoft (J.L. Gª Heras)
Espacio Hiperbólico1
Espacio Hiperbólico2

Siendo X, Y matrices de sl₂(C) y determinante -1 (A es un punto si det A= 1; U es un punto impropio: det U = 0: P es el vector normal a un plano hiperbólico si det P = -1): El producto exterior X ∧ Y (normalizado) es una matriz de traza 0, asociada a la geodésica secante, la perpendicular común o un punto impropio, según que el producto escalar <X,Y>=-1/2 tr(X c(Y)) (c(Y) la matriz conjugada de Y) cumpla |<X,Y>| < 1, |<X,Y>| > 1 o |<X,Y>| = 1, Y entonces || es igual a cos θ,,±cosh δ (θ un ángulo, δ una distancia), siendo θ=0 o θ=π (δ=0), si |<X,Y>| = 1

Fundamentos: Un plano hiperbólico y un punto pueden asociarse a una matriz 2x2, con determinante -1 y 1, respectivamente; y entradas reales en la diagonal secundaria (la diagonal principal está formada por un número complejo y el opuesto de su conjugado). Una geodésica está determinada por la matriz --con traza cero-- del semigiro alrededor de la geodésica.

Espacio hiperbólico: Geodésica y Plano o Punto (propio o impropio)

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