M3.I.2 L Skalarprodukt
Leitfrage in Phase 2
Wie kann man zwei Vektoren multiplizieren und was bedeutet das Ergebnis?
Skalarprodukt als eine Rechenoperation mit Vektoren entdecken
Diese beiden Fragen - wieso man zwei Vektoren gerade so multiplizieren sollte und was das Ergebnis bedeutet - bleibt für viele SuS unklar.
Im Kontext Kekse backen in Aufgabe 1 von
M3.I.2a AB Kekszutatenkauf, Mobilitätsemission, Instagram
berechnen die SuS mit der Einkaufsliste und dem Preisvektor (für die verschiedenen Zutaten) die Gesamtkosten des Einkaufs zum Kekse backen.
Sie finden dadurch selbst die Rechenvorschrift für das Produkt (genauer Skalarprodukt) zweier Vektoren und formulieren diese allgemein in Aufgabe 2.
An dieser Stelle wird auch der Unterschied zur Multiplikation mit einem Skalar aus M3.I.1d AB Kekse, Mobilität, Instagram angesprochen.
Die weiteren Aufgaben des Arbeitsblatts bearbeiten die SuS später als Übung oder Hausaufgabe.
M3.I.2a AB Kekszutatenkauf, Mobilitätsemission, Instagram
berechnen die SuS mit der Einkaufsliste und dem Preisvektor (für die verschiedenen Zutaten) die Gesamtkosten des Einkaufs zum Kekse backen.
Sie finden dadurch selbst die Rechenvorschrift für das Produkt (genauer Skalarprodukt) zweier Vektoren und formulieren diese allgemein in Aufgabe 2.
An dieser Stelle wird auch der Unterschied zur Multiplikation mit einem Skalar aus M3.I.1d AB Kekse, Mobilität, Instagram angesprochen.
Die weiteren Aufgaben des Arbeitsblatts bearbeiten die SuS später als Übung oder Hausaufgabe.
Graustufen eines Farbbilds für sw-Druck
Im nächsten Schritt wird der Verständnisanker rgb-Farbvektor an die gefundene Rechenvorschrift angebunden:
Motiviert durch die Frage, wie man aus einem Farbbild mit rgb-Codes für jeden Bildpunkt eine Graustufenversion erzeugen kann, entwickeln SuS in Aufgabe 1 des
M3.I.2b AB Farbbild in Graustufen
eigene Berechnungsmöglichkeiten für den repräsentativen Grauwert jedes Bildpunkts aus den drei Farbwerten. Auch im realen Kontext digitaler Bilder existieren mehrere Varianten (s. etwa https://prlbr.de/2013/farben-in-graustufen-umwandeln/#1). Hier liegt z.B. auch das arithmetische Mittel aus den drei Farbwerten nahe.
Mit diesem Schritt wird zunächst deutlich, dass prinzipiell unterschiedliche Rechenoperationen mit Vektoren denkbar sind, die auf einen Zahlenwert (Skalar) führen. Dies kann später bei der Berechnung des Betrags eines Vektors aufgegriffen werden.
Luminanzvektor und wahrgenommene Helligkeit
Auf ihre eigenen Überlegungen aufbauend lernen die SuS in Aufgabe 2 des M3.I.2b) AB Farbbild in Graustufen den Luminanzvektor für die wahrgenommene Helligkeit und den Grauwert als Ergebnis der Skalarmultiplikation von Farb- und Luminanzvektor kennen.
Durch den Grauwert festigt sich die Erkenntnis, dass diese Art von Multiplikation zweier Vektoren einen Zahlenwert (Skalar) ergibt und die Vorstellung einer gewichteten Summe.
In Aufgabe 3 wenden die SuS das Skalarprodukt zur Berechnung des Grauwerts dreier Farbvektoren an, um zu überprüfen, ob diese Farben im Graustufendruck noch unterscheidbar wären.
Das Applet
M3.I.2b App rgb-Farbvektor - Graustufen
im M3.I.2b) AB Farbbild in Graustufen zeigt abschließend nochmals Schritt für Schritt die Berechnung des Grauwerts für einen beliebig einstellbaren Farbvektor.
M3.I.2b AB Farbbild in Graustufen
eigene Berechnungsmöglichkeiten für den repräsentativen Grauwert jedes Bildpunkts aus den drei Farbwerten. Auch im realen Kontext digitaler Bilder existieren mehrere Varianten (s. etwa https://prlbr.de/2013/farben-in-graustufen-umwandeln/#1). Hier liegt z.B. auch das arithmetische Mittel aus den drei Farbwerten nahe.
Mit diesem Schritt wird zunächst deutlich, dass prinzipiell unterschiedliche Rechenoperationen mit Vektoren denkbar sind, die auf einen Zahlenwert (Skalar) führen. Dies kann später bei der Berechnung des Betrags eines Vektors aufgegriffen werden.
Luminanzvektor und wahrgenommene Helligkeit
Auf ihre eigenen Überlegungen aufbauend lernen die SuS in Aufgabe 2 des M3.I.2b) AB Farbbild in Graustufen den Luminanzvektor für die wahrgenommene Helligkeit und den Grauwert als Ergebnis der Skalarmultiplikation von Farb- und Luminanzvektor kennen.
Durch den Grauwert festigt sich die Erkenntnis, dass diese Art von Multiplikation zweier Vektoren einen Zahlenwert (Skalar) ergibt und die Vorstellung einer gewichteten Summe.
In Aufgabe 3 wenden die SuS das Skalarprodukt zur Berechnung des Grauwerts dreier Farbvektoren an, um zu überprüfen, ob diese Farben im Graustufendruck noch unterscheidbar wären.
Das Applet
M3.I.2b App rgb-Farbvektor - Graustufen
im M3.I.2b) AB Farbbild in Graustufen zeigt abschließend nochmals Schritt für Schritt die Berechnung des Grauwerts für einen beliebig einstellbaren Farbvektor.
Definition Skalarprodukt
Die Vektoren haben im Kontext Plätzchen fünf, im Kontext rgb-Farbvektor drei Komponenten. Aus beiden Kontexten wird klar, dass für das Skalarprodukt beide Vektoren dieselbe Komponenten haben müssen. (Jede Zutat hat einen bestimmten Preis, jede Farbe hat einen bestimmten Luminanzwert).
Gleichzeitig wirken die Kontexte der häufig auftretenden Fehlvorstellung "Vektoren haben genau drei Komponenten" entgegen.
Nachdem das Vorgehen zur Berechnung einer gewichteten Summe in Übungen (s.u.) auf die weiteren Kontexte Mobilität und Instagram übertragen wurde, kann allgemein das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert werden.
Kontexthintergrund Luminanz
Die Berechnung des Grauwerts mithilfe eines Luminanzvektors kommt aus der TV-Technik. Für SDTV und HDTV wird statt rgb das Farbmodell YCbCr genutzt. Es besteht aus dem Helligkeitswert Y und den zwei Farbkomponenten Chrominanz blau-gelb (Cb) Chrominanz rot-grün (Cr). Siehe dazu auch das nachfolgende Bild.
Das YCbCr-Modell berücksichtig, dass die Helligkeit (auch Leuchtkraft oder Luminanz genannt) der drei Grundfarben rgb vom Menschen unterschiedlich wahrgenommen werden: grün wird vom menschlichen Auge als am hellsten wahrgenommen, blau ist die dunkelste der drei Farben.
Deshalb werden bei der Berechnung des Helligkeitswerts Y die drei Farben r,g,b unterschiedlich gewichtet: rot mit 0,21 grün mit 0,72 und blau mit 0,07.
Den Helligkeitswert Y eines Bildpunkts kann man also als Skalarprodukt aus einem Luminanzvektor und dem rgb-Farbvektor berechnen.
Zeitbedarf
2-3h
Übungen
In M3.I.2a AB Plätzcheneinkauf, Mobilitätsemission, Instagram werden als weitere Übung der Gesamt-CO2-Ausstoß im Kontext Mobilität sowie die Bewertung eines posts bei Instagram berechnet.
Wie bei der Luminanz der drei Farbanteile ist auch der CO2-Ausstoß nicht für alle Verkehrsteilnehmer gleich. Die SuS definieren zur Beantwortung der Frage nach dem Gesamt-CO2-Ausstoß pro Person und Tag (analog zum bisherigen Vorgehen) einen zweiten Vektor (Emissionsvektor) und multiplizieren diesen skalar mit dem bereits in Aufgabe 2 im M3.I.1d AB Plätzchen, Mobilität, Instagram erstellten Mobilitätsvektor.
Da Schulbücher Vektoren als Pfeilklassen definieren, finden sich dort wenig passende Aufgaben.
Auf der Webseite Math2Mind.com sind jedoch passende Aufgaben zu finden.
Auch geeignet: Elemente der Mathematik 2017 LK, S. 46 A. 3
Anm.: Die Schulbücher o-mathe, Elemente der Mathematik, Lambacher Schweizer und Fundamente der Mathematik nutzen in der analytischen Geometrie leider das Pfeilklassenmodell für Vektoren mit all seinen Problemen sowie vermeidbar komplexen Berechnungen und Veranschaulichungen (z.B. Ortsvektor). Nachdem diese Unterschiede mit den SuS besprochen wurden, können Übungen aus den Schulbüchern verwendet werden.