تقاطع دوال خطية
مهمة بعنوان: تقاطع دوال خطية
أهداف المهمة:
- أن يكتشف الطالب كيفية إيجاد نقطة تقاطع دالتين خطيتين.
- أن يذوّت الطالب مفهوم أنّه عندما يكون للدالتين نفس الميل لا تكون بينهما نقطة تقاطع.
المهمة
أمامك مسألة اقرأها ثم قم بما يليها:
أحمد موجود في قاعة رياضية.
منى موجودة في المكتبة. البعد بين قاعة الرياضة والمكتبة هو 180 متر.
أحمد ومنى يخرجون في نفس الوقت ويتقدمون الواحد باتجاه الآخر (في نفس الطريق) .
يتقدم كل منهما بسرعة ثابتة.
1. تمعن في الرسم البياني الذي يصف هذه المسألة في ملف الجيوجبرا. اضغط هنا لفتح الملف.
المكتبة في الرسم هي نقطة أصل المحاور.
ماذا يمثّل محور x ?
ماذا يمثّل محور y ؟
2. أي من الرسمين يمثّل بُعد منى ( بالأمتار) عن المكتبة كدالة للزمن (بالثواني) ؟
فسّروا............................................................................
أيّها يمثل بُعد أحمد عن المكتبة؟
فسّروا..............................................................................................
لفحص إجاباتكم رجاء اضغطوا في المربع الفارغ لكل اسم من الولدين كما يظهر في هذه الصورة.
3. على أي بُعد من المكتبة كانت منى بَعد 10 ثواني من خروجها؟
4. على أيّ بُعد من المكتبة كان أحمد بَعد 20 ثانية من خروجه؟
5. حسنًا من البطل الذي سيخبرنا على أي بُعد من قاعة الرياضة كان أحمد بعد 30 ثانية من خروجه؟
6. عُيّنت على الرسم البياني النقاط A,D,C , سجّل المعلومات التي يُمكن أن نعرفها من كل نقطة حسب الرسم
........................................................................................................................................................................................
7. تمعنوا في الرسم البياني أي نقطة تمثّل نقطة التقاء منى وأحمد؟
8. متى التقى أحمد ومنى؟ علّلوا
9.على أي بعد من المكتبة التقت منى بأحمد؟ علّلوا
10.على أي بعد من قاعة الرياضة التقت منى بأحمد؟
11. لقد استطعت تحديد إحداثيات نقطة الالتقاء بواسطة الرسم.
اقترح طريقة أخرى لإيجادها ......................................................................................
12. تذكير: القانون الذي يربطبين مسافة، زمن وسرعة هو: زمن X سرعة = مسافة. حسنا والآن استعن بالنقاط الموجودة
على الرسم وجد
أ. سرعة منى.
ب. سرعة أحمد.
13. أكتب تعبيرًا جبريًا لكل واحدة من الدالتين الخطيتين اللتان تظهران في الرسم. اشرح...............................................................................................................................................................................
وصفت سلمى وهيام طرق حلهن لإيجاد نقطةالالتقاء: حضّرت هيام جدول قيم لكل دالة عن طريق التعويض في الدالة، وفتشت عن النقطة المشتركة.
أمّا سلمى فقالت أنا أقترح أننسجّل مساواة بين الدالتين: ونقوم بحلّ المعادلة.
14. حلّوا معادلة سلمى. ما معنى الحل الناتج؟
.......................................................................................................................................................................................
15. حسنا عوضوا ال x الذي نتج معكم من حل المعادلة مرة في الدالة (g(x ومرة في الدالة (f(x ماذا تلاحظون؟
هل عرفتم لماذا وضعت سلمى مساواة بين الدالتين؟ لماذا؟
16. ما رأيكم بطريقتي هيام وسلمى؟ هل دائما نستطيع إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع مستقيمين دائما:
أ-حسب طريقة هيام؟
ب-حسب طريقة سلمى؟
17. ماذا استنتجتم حتى الآن؟...........................................................................................
18. يقول سمير :" لقد التقت منى بأحمد على بعد 120متر منّي" أين سميرالآن (استعينوا بالرسم البياني)؟
علّلوا.........................................................................................
19. أعزائي نسيت أن أخبركم أن يوسف قد خرج في نفس الوقت الذي خرجت فيه منى ولكنه خرج من الصف والذي يبعد عن المكتبة 30 متر بنفس سرعة منى باتجاه قاعة الرياضة.
أ. أكتب تعبيرًا جبريًا يمثّل الرسم البياني لتقدّم يوسف..............................................................................................
ب. هل التقى يوسف بأحمد في طريقه؟ إذا نعم متى وعلى أي بعد من المكتبة،
إذا لا كيف عرفت؟.............................................................................................
ج. تأمّل جيدا في التعبير الجبري لكل من دالة منى ويوسف. ما الذي يميزهما؟
د. هل التقى يوسف بمنى في طريقه؟ إذا نعم متى وعلى أي بعد من المكتبة،
إذا لا لماذا؟.............................................................................................
حسنا من أجل أن تجيبوا على قسم د كما يجب سوف نقوم بمهمة قصيرة كي نكتشف أمرا مهمّا وهو : هل تؤثر ميول الدوال على نقطة تقاطعها؟
استعينوا بأبلت 2 لاكتشاف ذلك.
20. يظهر لديكم المزلاجان a1,b1 حركوهما، ما هي وظيفة كل منهما؟
يظهركذلك المزلاجان a2,b2 حركوهما، ما هي وظيفة كل منهما؟
21. تمعنوا في النقطة الحمراء، ماذا تمثل؟حركوا كل من a1,a2,b1,b2 ماذا تلاحظون بالنسبة للنقطة الحمراء؟ هل دائما ترونها؟
يمكنكم معرفة إحداثيات النقطة الحمراء بالنظر الى يسار الصفحة حيث يظهر في الصورة
22. ثبّتوا المزلاجين a1 و a2 على عدد معيّن،مثال: ضعوا a1=3 و a2=3.
والآن حركوا ، ما هي نقطة تقاطع الدالتين؟.............................................................................................
23. قوموا ببناء معادلة مساواة بين الدالتين الناتجتين، هل هناك x يحقق المساواة؟
.............................................................................................
24. ثبّتواالمزلاجين a1 و a2 على عدد معيّن آخر وحركوا المزلاجين b1 و b2 كما تشاؤون وجدوا نقطة التقاطع؟ماذا تلاحظون؟
لماذا تنتج هذه النتيجة كلما ثبتنا المزلاجين a1 و a2 ?
.................................................................................................................................
25. ماذا تستنتجون؟
............................................................................................
26. معطى وعاءين في البداية وعاء أ فارغ، بينما في وعاء ب يوجد 24 لتر ماء. نملأ بنفس الوقت الوعاءين بالماء. نملأ وعاء أ بوتيرة 4 لتر للدقيقة بينما نملأ وعاء ب بوتيرة 2 لتر للدقيقة.
أ. سجّلوا تعبيرين جبريّين ملائمين يمثلان كمية الماء في كل واحد من الوعاءين كدالة للزمن:
للوعاء أ : ............................
للوعاء ب : ................................
ب. افتحوا أبلت 3 استعن بالمزلاجين a1 , b1 ( للوعاء أ ) وبالمزلاجين ، a2,b2 (للوعاء ب)
وارسموا الرسمين الملائمين لكل من الدالتين (f(x , و (g(x
ج.جد إحداثيات النقطة A، ما هو مفهومها؟
د.بعد 8 دقائق من لحظة فتح الحنفيات، بأيّ وعاء يوجد أكثر ماء؟ كم لترًا أكثر كان في هذا الوعاء؟
ه.بعد 16 دقيقة من لحظةفتح الحنفيات، بأيّ وعاء يوجد أكثر ماء؟ كم لترًا أكثر كان في هذا الوعاء؟
و. جد من خلال الرسم البياني وبمساعدة متباينة، بعد كم دقيقة كانت كمية الماء في الوعاء أ أكبر من كمية الماء في الوعاء ب؟
27. أجب عن السؤال التالي
28.استعينوا بأبلت 2 واشرحوا من منهم قوله صحيح.
29. اقترح ما يلي إذا أمكن:
استعن بأبلت 2 لفحص إجابتك.
أرجو أنكم استمتعتم