Σχετικές θέσεις δυο κύκλων με φύλλο εργασίας
- Author:
- Γεράσιμος-Χρήστος Ασωνίτης
Παρακάτω βλέπετε τους κύκλους (Κ,R) και (Λ,ρ), με R≥ρ.
Οι δρομείς R και ρ σας επιτρέπουν να αυξομειώνετε τις ακτίνες των κύκλων (Κ,R) και (Λ,ρ) αντίστοιχα, ενώ ο δρομέας d σας επιτρέπει να μετακινείτε τον κύκλο (Λ,ρ) και συμβολίζει τη διάκεντρο, δ, των δύο κύκλων (η διάκεντρος είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα κέντρα των δύο κύκλων).
Μπορείτε επίσης να επιλέξετε ανάμεσα από τα παρακάτω κουμπιά, ούτως ώστε να εμφανιστούν η κοινή χορδή, η μεσοκάθετος της διακέντρου, η μεσοκάθετος της κοινής χορδής, οι κοινές εξωτερικές και οι κοινές εσωτερικές εφαπτομένες των δύο κύκλων.
Για τις παρακάτω ασκήσεις (πλην κάποιων εξαιρέσεων) θα χρησιμοποιήσουμε ως ακτίνες των δύο κύκλων τις τιμές R=8 και ρ=4.
Ας ελέγξουμε τις σχετικές θέσεις που μπορούν να έχουν δύο κύκλοι…
1η περίπτωση: Ο δρομέας d να έχει την τιμή d=3.
•Ποια είναι η θέση του κύκλου (Λ,ρ) σε σχέση με τον κύκλο (Κ,R);
…………………………………………………………………………………………….
•Πόσα κοινά σημεία έχουν;
…………………………………………………………………………………………….
•Συγκρίνετε το μήκος της διακέντρου με τη διαφορά R-ρ των ακτίνων. Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εξωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εσωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Επιλέξτε ο δρομέας d να έχει τιμή d=0. Πως ονομάζονται οι δύο κύκλοι σε αυτήν την περίπτωση; Ποια η θέση του κύκλου (Λ,ρ) σε σχέση με τον κύκλο (Κ,R);
…………………………………………………………………………………………….
•Θα μπορούσατε να βγάλετε κάποιο γενικό συμπέρασμα για τη θέση των δύο κύκλων;
Ο κύκλος (Λ,ρ) βρίσκεται ……………………… (Κ,R), αν και μόνο αν, δ…R-ρ.
2η περίπτωση: Ο δρομέας d να έχει την τιμή d=4.
•Ποια είναι η θέση του κύκλου (Λ,ρ) σε σχέση με τον κύκλο (Κ,R);
…………………………………………………………………………………………….
•Πόσα κοινά σημεία έχουν;
…………………………………………………………………………………………….
•Συγκρίνετε το μήκος της διακέντρου με τη διαφορά R-ρ των ακτίνων. Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εξωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εσωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Θα μπορούσατε να βγάλετε κάποιο γενικό συμπέρασμα για τη θέση των δύο κύκλων;
Οι κύκλοι…………………………………….., αν και μόνο αν, δ…R-ρ.
3η περίπτωση: Ο δρομέας d να έχει την τιμή d=6 και την τιμή d=8.
•Ποια είναι η θέση των δύο κύκλων στις παραπάνω περιπτώσεις;
………………………………………………………………………………………….....
•Πόσα κοινά σημεία έχουν;
…………………………………………………………………………………………….
•Συγκρίνετε το μήκος της διακέντρου με τη διαφορά R-ρ και το άθροισμα R+ρ των ακτίνων. Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εξωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εσωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινή χορδή". Θα εμφανιστεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, το οποίο ονομάζεται έτσι, επειδή είναι χορδή και των δύο κύκλων. Αν πατήσετε το κουμπί "Μεσοκάθετος κοινής χορδής" τι παρατηρείτε;
Παρατηρούμε ότι η διάκεντρος, δ ,………………………………………………………
•Θα μπορούσατε να βγάλετε κάποιο γενικό συμπέρασμα για τη θέση των δύο κύκλων;
Οι κύκλοι…………………………, αν και μόνο αν, R-ρ…δ…R+ρ.
4η περίπτωση: Ο δρομέας d να έχει την τιμή d=12.
•Ποια είναι η θέση των δύο κύκλων στην παραπάνω περίπτωση;
………………………………………………………………………………………….....
•Πόσα κοινά σημεία έχουν;
…………………………………………………………………………………………….
•Συγκρίνετε το μήκος της διακέντρου με το άθροισμα R+ρ των ακτίνων. Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εξωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εσωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Θα μπορούσατε να βγάλετε κάποιο γενικό συμπέρασμα για τη θέση των δύο κύκλων;
Οι κύκλοι………………………………………., αν και μόνο αν, δ…R+ρ.
5η περίπτωση: Ο δρομέας d να έχει την τιμή d=14.
•Ποια είναι η θέση των δύο κύκλων στην παραπάνω περίπτωση;
………………………………………………………………………………………….....
•Πόσα κοινά σημεία έχουν;
…………………………………………………………………………………………….
•Συγκρίνετε το μήκος της διακέντρου με το άθροισμα R+ρ των ακτίνων. Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εξωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Πατήστε το κουμπί "Κοινές εσωτερικές εφαπτομένες". Τι παρατηρείτε;
…………………………………………………………………………………………….
•Θα μπορούσατε να βγάλετε κάποιο γενικό συμπέρασμα για τη θέση των δύο κύκλων;
Κάθε κύκλος είναι…………………… του άλλου, αν και μόνο αν, δ…R+ρ.
Ας θυμηθούμε την περίπτωση που οι δύο κύκλοι τέμνονται… Θα επιλέξουμε, για αλλαγή διαφορετικές τιμές για τα R και ρ.
•Επιλέξτε R=5.5, ρ=3.5 και d=5.7. Οι κύκλοι σε αυτήν την περίπτωση είναι άνισοι, εφόσον έχουν διαφορετικές ακτίνες.
Πατήστε τα κουμπιά "Κοινή χορδή" και "Μεσοκάθετος διακέντρου".
Τι παρατηρείτε;
Η κοινή χορδή δύο άνισων κύκλων ………….. μεσοκάθετος της διακέντρου.
•Επιλέξτε τώρα R=4, ρ=4 και d=5.7. Οι κύκλοι σε αυτήν την περίπτωση είναι ίσοι, εφόσον έχουν ίσες ακτίνες.
Πατήστε τα κουμπιά "Κοινή χορδή" και "Μεσοκάθετος διακέντρου".
Τι παρατηρείτε;
Η κοινή χορδή δύο ίσων κύκλων ………….. μεσοκάθετος της διακέντρου.
ΑΣΚΗΣΗ
Να προσδιοριστούν οι σχετικές θέσεις των κύκλων (Κ,6) και (Λ,3.3), αν:
α. δ = 2.7
β. δ = 9.3
γ. δ = 1.1
δ. δ = 4.2
ε. δ = 12.4