Volumen Esfera Según Arquímides
Arquímedes partió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:
Cortó las tres figuras con un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones que este plano crearía en cada una de las figuras:
- Cilindro: circunferencia de radio R.
- Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio, digamos r. Mirando la siguiente figura
y usando el Teorema de Pitágoras tenemos que r2+d2=R2
Cono: también una circunferencia de radio d, pero ahora, como podemos se ve aquí:
Por tanto tenemos:
Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera+Sección cono
Si realizamos este experimento una cierta cantidad de veces tendremos figuras como las siguientes:
Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parece bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:
Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono
Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:
Pregunta:
¿Crees ser capaz de lograr deducir la formula de la esfera en base a la información anterior?
Por tanto tendremos que:
Luego de un trabajo algebraico llegamos a:
Dejamos un Video para que notes de una manera mas tangible el genial experimento de Arquímides
Dejamos además un Applet para que experimentes tu mismo estos resultados:
