Objem jehlanu

Téma:
Objem
Krychli je možné rozložit na tři shodné čtyřboké jehlany. Podstavy jsou sousední stěny krychle, výškou je hrana na podstavu kolmá. Odtud snadno vypočítáme objem jehlanu. Objem krychle o hraně je . Krychle se rozpadne na tři shodné jehlany. Každý z nich musí mít objem rovný třetině objemu krychle.

U kvádru je to o něco složitější. Rozklad kvádru netvoří tři shodné jehlany, jsou to ale jehlany stejného objemu. Odvození vzorce pro objem jehlanu je uvedeno již v Eukleidových Základech (300 př. n. l. ). Eukleides ve 12. knize Základů nejprve dokázal, že dva jehlany se shodnými základnami a výškami mají stejný objem; v důsledku toho pak platí obdobné tvrzení pro jehlany oshodných mnohoúhelníkových základnách a výškách. Dále dokázal, že libovolný trojboký hranol lze rozdělit na tři trojboké jehlany téhož objemu (viz ggb). My si pamatujme vzorec společný pro jehlan i kužel, totiž že objem jehlanu (kužele) je roven jedné třetině objemu hranolu (válce) nad stejnou podstavou.

,

kde Sp je obsah podstavy a v je výška jehlanu. Pro podrobnější informace doporučuji článek "Objemy a povrchy těles"ze serveru Matematika pro všechny.

Procvičování - Zdeněk Bureš