Cosmographie mathématique
█ Etape 1 : un triangle isocèle démesuré
En bleu les données du problème présentées par actiflanuit60 sur prepa.org, c'est quand même plus sympa avec un petit crobar(d) :
Soit STT' un triangle isocèle de sommet principal S, tel que l'angle (T,S,T') vaut 10° (valeur pas si arbitraire).
H est un point du coté [T,S] tel que TH soit [nettement] inférieur à TT'.
Seuls S, H et T peuvent être déplacés avec la souris.
Pour rendre TH << TT' il suffit de le déplacer avec la souris H vers T (ce qui est possible avec l'appliquette ci-dessus)
█ Etape 2 : définition de H'
H' est l'un des deux points du plan défini par S, T et T', situé à l'intérieur du triangle STT' et tel que T'H' = TH et mes(T'H'T) = 90°
Désolé mais pour moi il y a une infinité de points H' qui satisfont :
- l'appartenance à l'aire délimitée par le triangle STT' c.a.d
à l'intérieur du triangle STT'
- l'égalité des longueurs TH avec T'H' (segments double-barrés en vert) et dont
- l'angle vaut 90°.
█ Etape 3 : définitions de I et I' les 2 positions limites de H'
Pour moi c'est l'arc de cercle II' (en bleu) de centre E (milieu de T et T').
Les portions T'I' et TI de l'arc de cercle sont exclues de ce lieu des points solutions car il ne sont pas "à l'intérieur du triangle".
Je pense que les 2 points du plan évoqués ci-dessus par actiflanuit60 sont situés sur le périmètre du triangle STT' (et non à l'intérieur) et sont donc les points I et I'. Je ferai cette supposition par la suite ????. De plus si TH < TI alors H' sur ce triangle n'existe pas (ou plus), il n'y a pas (ou plus) de solutions !
█ Etape 4 : définition de β
On suppose que l'angle (H',H,S) est strictement obtus.
Effectivement car il y a des contre exemples où cela ne l'est pas :
Ci-dessus est aigu, supposons donc qu'il soit obtus comme ci-dessous, mais dans ce cas on ne peut plus trop dire que TH << TT' (cf 3ème condition de la 1ère phrase de l'énoncé) ?
█ Etape 5 : définition de 'a'
Soit a la valeur de l'angle (H',S,T') en degré.
█ Question 1 : valeur minimum de 'a' (rien n'est moins sûr !)
1) Démontrer qu'il existe pour a une valeur minimale non nulle, et préciser ce minimum à l'aide de deux décimales après la virgule.
Il y a effectivement une valeur minimale pour 'a' si reste obtus sinon cette valeur minimale est donnée lorsque H' et I' coïncident. Expérimentalement avec l'appliquette je vais tenter d'approcher l'angle de 90° pour (par valeur supérieure pour que reste obtus en modifiant la position de H avec la souris) et lire 'a'.
soit
Il n'y a pas de démonstration ici mais juste une lecture expérimentale d'un schéma. D'ailleurs je ne sais pas comment obtenir cette valeur numérique 'a' en n'ayant qu'une seule autre valeur numérique donnée jusqu'à présent : celle de ?
La seule chose que j'ai c'est un encadrement de 'a' : .
Dans le cas où l'on n'impose pas que soit obtus mais reste dans le triangle isocèle, alors la valeur limite est obtenue en superposant H avec I et H' avec I' :
Soit
Ce n'est pas du tout le même ordre de grandeur selon ce que l'on comprend de l'énoncé.
soit
Il n'y a pas de démonstration ici mais juste une lecture expérimentale d'un schéma. D'ailleurs je ne sais pas comment obtenir cette valeur numérique 'a' en n'ayant qu'une seule autre valeur numérique donnée jusqu'à présent : celle de ?
La seule chose que j'ai c'est un encadrement de 'a' : .
Dans le cas où l'on n'impose pas que soit obtus mais reste dans le triangle isocèle, alors la valeur limite est obtenue en superposant H avec I et H' avec I' :
Soit
Ce n'est pas du tout le même ordre de grandeur selon ce que l'on comprend de l'énoncé.█ Question 2 : Un majorant ?
2) En notant ST = ST' = D et TH = T'H' = d, déduire du 1) que D/d est majoré par une valeur que l'on précisera à l'aide de deux décimales après la virgule.
Pour déduire quelque chose du 1) il aurait fallu une formule. Cette formule doit impliquer 'a' puisque c'était ce qu'il été demandé de démontrer.
Je vais donc supposer non pas que
TH soit [nettement] inférieur à TT'contrairement à ce qui est annoncé au début du problème mais .
█ Etape 6 : Prolongation de SH' pour intersecter TT' en J
Dans ce cas ST et ST' peuvent être considérés parallèles et intersectent TT' quasiment à angle droit. De plus je vais prolonger le segment SH' pour le faire intersecter TT' en J :
dans ce cas puis avec le premier 'a' trouvé en 1).
et avec le second.
Allez je dirais que le majorant de est compris entre et et en matière cosmique ???? ce sont des valeurs très proches non ???? !
█ Question 3 : rapprochement solaire !
3) Pour les lycéens quelque peu initiés à l'astronomie
Je ne suis plus lycéen, encore moins astronome, mais mon ami G m'a permis de retrouver l'expérience d'Aristarque de Samos :
S'inspirer de ce qui précède en se justifiant, pour trouver un majorant à la distance moyenne Terre-Soleil, supposée inconnue (celle entre la Terre et la Lune valant 384400 km environ). Attention :À la différence de S, T ou T', facilement identifiables, H et H' ne correspondront pas vraiment aux centres de gravité de la Lune, mais ..... (merci de bien lire l'énoncé).
Je tente un rapprochement entre Aristarque et Actiflanuit60 :
T et T' seraient 2 positions de la Terre sur son orbite autour du soleil S.
Raisonnons et plaçons nous en T centre de la Terre, rapprochons H le plus possible de T (sans dépasser I, TI serait grossièrement le rayon terrestre où un observateur ne pourrait s'y trouver) et imaginons H comme étant un point de la surface de la Terre où serait placé un observateur regardant la lune en H'. Celle-ci nous parait dichotome (comme pour Aristarque), indiquant que l'angle Soleil-Lune-Observateur () est proche de l'angle droit.
S'inspirer de ce qui précède en se justifiant, pour trouver un majorant à la distance moyenne Terre-Soleil, supposée inconnue (celle entre la Terre et la Lune valant 384400 km environ). Attention :À la différence de S, T ou T', facilement identifiables, H et H' ne correspondront pas vraiment aux centres de gravité de la Lune, mais ..... (merci de bien lire l'énoncé).
Je tente un rapprochement entre Aristarque et Actiflanuit60 :
T et T' seraient 2 positions de la Terre sur son orbite autour du soleil S.
Raisonnons et plaçons nous en T centre de la Terre, rapprochons H le plus possible de T (sans dépasser I, TI serait grossièrement le rayon terrestre où un observateur ne pourrait s'y trouver) et imaginons H comme étant un point de la surface de la Terre où serait placé un observateur regardant la lune en H'. Celle-ci nous parait dichotome (comme pour Aristarque), indiquant que l'angle Soleil-Lune-Observateur () est proche de l'angle droit.
█ 10° (valeur pas si arbitraire)
Reste à déterminer à quoi correspond ?
En gros à quoi correspondent les 2 positions et de la Terre sur son orbite ?
Il nous faut introduire une notion de temps, ce que poirot sur son appliquette met bien en évidence.
Aristarque a mesuré l'angle entre la Nouvelle Lune (NL) et le premier quartier de lune de son point d'observation. Il s'est écoulé 176,72 heures selon le cas réel entre ces 2 positions de la Lune. Soit un quart du mois lunaire.
Si l'on considère que l'orbite de la Terre est circulaire autour du Soleil et sa vitesse constante, elle se sera déplacée d'un angle de . On n'est pas loin des d'actiflanuit60.
Autres ressources sur ce thème
de poirot : aristarque distance terre soleil
de poirot : Aristarque rayon de la lune
du Collège Jules Verne Déville-lès-Rouen France : Aristarque par étapes
de ela1687 : aristarque (pas d'explications)