Kulový vrchlík, kulová úseč
- Autor:
- Šárka Voráčová
- Téma:
- Tělesa, 3D útvary, Koule
Každá rovina řeže kulovou plochu v kružnici. Průniku poloprostoru s koulí říkáme kulová úseč, zatímco průnik poloprostoru s kulovou plochou je kulovým vrchlíkem.
Rovina rozdělí kouli na dvě kulové úseče. Povrch kulové úseče nazýváme kulový vrchlík.
Označme r poloměr koule, v výšku kulového vrchlíku a ρ poloměr podstavy kulové úseče. Důkazy pro povrch i objem jsou velmi podobné důkazům pro celou kouli.
Povrch kulového vrchlíku:
Objem kulové úseče:
Povšimněte si, že povrch zelené části výšky v je opět rovný povrch pláště opsaného válce stejné výšky. Objem je rozdílem objemu opsaného válce a části kužele
*
Keplerovo odvození obsahu Na obrázku je červený kužel, který s vrchlíkem sdílí stejnou podstavnou kružnici o poloměru ρ. Ten poslouží pro Keplerovo odvození vztahu mezi povrchem a objemem. Uvažujme těleso, které je složené ze zeleného vrchlíku a červeného kužele s vrcholem ve středu koule. Obě části mají společnou kružnici o poloměru ρ. Označme h vzdálenost této kružnice od středu koule, tj. h = r - v. Platí, že . Představme si, že takové těleso je složené z velmi mnoha kuželů, které mají všechny vrchol ve středu sféry a podstavou je malá část kulového vrchlíku. Podstavy těchto kuželů pokryjí celý vrchlík o obsahu S. Objem VC složeného tělesa je součtem objemů všech kuželůPro složené těleso tedy platí, že . Dosadíme do vztahu objem složeného tělesa VC sečtením objemu V úseče (*) a objemu červeného kužele.
Experimentální ověření objemu kulové úseče Přesvědčit se o rovnosti objemů můžeme i experimentálně pomocí součástky z 3D tiskárny.
