Potenzfunktionen und Symmetrie

gerade und ungerade Parabeln

Durch Ziehen der Schieberegler entstehen verschiedene Funktionen. Alle entstehenden Funktionen mit n

1 und n

0 nennt man Parabeln. Es gibt gerade und ungerade. Wie werden diese unterschieden? Betrachte die Definitions- und Wertemengen. Was fällt dir auf?

Potenzfunktionen mit Potenzen aus N

gerade Potenzen

Was gilt für alle Potenzfunktionen mit geradem n (n0)? Verändere die Funktion durch Ziehen des Schiebereglers. Welche Aussagen sind richtig?

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Das Bild zeigt eine gerade Parabel.
B
Das Bild zeigt eine nach oben offene Parabel, wenn a positiv ist.
C
Manche Parabeln gehen durch den Ursprung.
D
Manche Parabeln gehen durch den Punkt A=(1,f(1)).
E
Alle Parabeln gehen durch den Punkt A=(f(1),1).
F
Für n=2 hat und negatives a hat die Parabel einen Hochpunkt.
G
Diese Parabeln ändern ihr Monotonieverhalten an der Stelle x=0.

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ungerade Potenzen

Was gilt für Potenzfunktionen mit ungeraden Potenzen (n1)? Verändere die Funktion durch Ziehen des Schiebereglers. Welche Aussagen sind richtig?

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Alle Bilder sind ungerade Parabeln.
B
Alle Parabeln gehen durch den Punkt A=(1,f(1)).
C
Manche Parabeln gehen durch den Ursprung.
D
Diese Parabeln ändern ihr Monotonieverhalten an der Stelle x=0.
E
Diese Parabeln sind auf ganz monoton steigend oder fallend, abhängig vom Wert des Parameters a.

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Spezialfall n=1:

Für n=1 ergibt sich ein Spezialfall. Wie nennt man diese Funktion?

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Spezialfall n=0:

Für n=0 ergibt sich ein Spezialfall. Wie nennt man diese Funktion?

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Potenzfunktionen mit ganzzahligen negativen Exponenten

Diese Funktionen werden auch (gebrochen) rationale Funktionen genannt, weil sie von der Form f(x)=a/x^n sind. Der negative Exponent wird zum Bruch. Die entstehenden Bilder nennt man Hyperbeln. Es gibt gerade und ungerade. Unabhängig von a haben alle geraden und alle ungeraden Hyperbeln Gemeinsamkeiten. Welche sind das?

Hyperbeln

Eine Hyperbel hat immer zwei Äste. Die Polstelle wird auch Unendlichkeitsstelle genannt. Alle rationalen Funktionen dieser Form haben 0 als Polstelle, weil die Division durch 0 nicht definiert ist. Welche Aussagen sind richtig?

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Eine gerade Hyperbel hat ihre Äste immer auf der selben Seite der x-Achse.
B
Eine ungerade Hyperbel hat ihre Äste nur dann auf der selben Seite, wenn a negativ ist.
C
Alle Hyperbeln gehen durch den Punkt A=(1,f(1)).
D
Hyperbeln haben ihre Extremstelle an der Stelle x=0.
E
Eine solche Hyperbel hat keine Nullstelle.
F
Alle Hyperbeln haben als Definitionsbereich ^*.
G
Alle Hyperbeln haben als Wertebereich ⁺.
H
Ungerade Hyperbeln haben als Wertebereich ^-.
I
Alle geraden Hyperbeln haben bei positivem a als Wertebereich ⁺.

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Symmetrie der Potenzfunktion

Verändere durch Ziehen der Schieberegler die Funktionen und betrachte Gemeinsamkeiten.

Achsensymmetrie

Welche der gegebenen Aussagen zu achsensymmetrischen Funktionen stimmen zu? Kreuze an!

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A
Alle achsensymmetrischen Funktionen sind gerade.
B
Es filt f(x)=f(-x).
C
Es gilt f(x)=-f(-x).
D
Egal ob a negativ oder positiv ist, die Eigenschaft der Achsensymmetrie geht nicht verloren.
E
Bei negativem a geht die Achsensymmetrie verloren.

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Punktsymmetrie

Welche Aussagen zu punktsymmetrischen (hier punktsymmetrisch zum Ursprung (0/0)) Funktionen treffen zu?

Wähle alle richtigen Antworten aus

A
Alle punktsymmetrischen Funktionen sind ungerade.
B
Für alle punktsymmetrischen Funktionen gilt f(x)=f(-x).
C
Für alle punktsymmetrischen Funktionen gilt -f(-x)=f(x).
D
Bei negativem a wird die Punkt- zur Achsensymmetrie.

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fortgeschrittene Symmetrie für die Pros :)

Betrachte im gegebenen Applet die verschiedenen Parametervariationen. Bleiben alle Eigenschaften erhalten?

Potenzfunktionen und Symmetrie

gerade und ungerade Parabeln

Potenzfunktionen mit Potenzen aus N

gerade Potenzen

ungerade Potenzen

Spezialfall n=1:

Spezialfall n=0:

Potenzfunktionen mit ganzzahligen negativen Exponenten

Hyperbeln

Hyperbeln

Symmetrie der Potenzfunktion

Achsensymmetrie

Achsensymmetrie

Punktsymmetrie

Punktsymmetrie

fortgeschrittene Symmetrie für die Pros :)

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