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Loxodrome 3 Pole Fall 7

Autor:Walter Füchte

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

In einer euklidischen Karte seien die 3 Pole A, B, C die komplexen Zahlen . Für die 3 Loxodrome durch einen Punkt gilt dann:
  • mit zyklischer Vertauschung der Indizes 1,2,3
Die Kurven sind, zumindest lokal, Niveaulinien der Funktionen
und es gilt bei geeigneter Festlegung des Logarithmus . Berührort der 3 Loxodromenscharen ist der gemeinsame Kreis durch die Pole. Leider ist es uns nicht gelungen, mit geogebra Schnittpunkte von Loxodromen berechnen und anzeigen zu lassen. Unten: Im Grenzfall erhält man 3 hyperbolische Kreisbüschel, deren Kreise orthogonal zum Kreis durch sind. Betrachtet man die Kreisscheibe als hyperbolische Ebene, so sind die Kreisbögen innerhalb des (absoluten) Kreises GERADEN der hyperbolischen Ebene (Poincarésches Kreisscheiben-Modell ). Die Achsen der Kreisbüschel gehen im Quadrik-Modell der Möbiusebene gemeinsam durch den Pol des Kreises , das 6-Eck-Netz gehört also zum Fall I. Im Beltrami-Kleinschen Kreisscheiben-Modell sind die hyperbolischen Kreise tatsächlich Geraden aus 3 Geradenbüscheln.
Unten: Grenzfall .

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