Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.
In einer euklidischen Karte seien die 3 Pole A, B, C die komplexen Zahlen .
Für die 3 Loxodrome durch einen Punkt gilt dann:
- mit zyklischer Vertauschung der Indizes 1,2,3
Die Kurven sind, zumindest lokal, Niveaulinien der Funktionen
und es gilt bei geeigneter Festlegung des Logarithmus .
Berührort der 3 Loxodromenscharen ist der gemeinsame Kreis durch die Pole.
Leider ist es uns nicht gelungen, mit geogebra Schnittpunkte von Loxodromen berechnen und anzeigen zu lassen.
Unten: Im Grenzfall erhält man 3 hyperbolische Kreisbüschel, deren Kreise orthogonal zum Kreis durch
sind. Betrachtet man die Kreisscheibe als hyperbolische Ebene, so sind die Kreisbögen innerhalb des (absoluten) Kreises
GERADEN der hyperbolischen Ebene (Poincarésches Kreisscheiben-Modell ).
Die Achsen der Kreisbüschel gehen im Quadrik-Modell der Möbiusebene gemeinsam durch den Pol des Kreises ,
das 6-Eck-Netz gehört also zum Fall I.
Im Beltrami-Kleinschen Kreisscheiben-Modell sind die hyperbolischen Kreise tatsächlich Geraden aus 3 Geradenbüscheln.