③ 단위 속력 곡선의 곡률
2-②절에서 정칙 곡선을 곡선의 길이를 이용해 표준적으로 매개화할 수 있음을 학습했다. 길이로 매개화된 곡선은 모든 점에서 속력이 이므로 단위 속력 곡선(unit speed curve)이라고 한다. 단위 속력 곡선 에 대하여 벡터 의 방향은 에서 의 접선 방향과 일치하고 크기가 이므로 를 곡선 의 단위 접벡터(unit tangent vector)라 하고 로 나타낸다.
단위 속력 곡선들의 각 단위 접벡터는 모두 크기가 동일하므로 단위 접벡터의 변화율을 이용해 각 곡선이 구부러진 정도를 일관되게 측정할 수 있다. 반지름의 길이가 각각 인 두 원의 단위 속력 곡선 을 살펴보자. 두 곡선 의 단위 접벡터를 라 하면 각 단위 접벡터의 미분 는 단위 접벡터와 수직으로 원의 중심 방향을 향한다. 원은 모든 점에서 구부러진 정도가 일정하므로 의 크기 는 각각 일정하다. 반지름의 길이가 인 원은 반지름의 길이가 인 원보다 더 구부러져 있으므로 임을 확인할 수 있다.
[정의 1] 단위 속력 평면 곡선의 곡률
단위 속력 평면 곡선 의 단위 접벡터를 라 할 때 을 곡선 의 곡률(curvature)라고 한다.
[예제 1] 직선의 곡률
직선의 접벡터는 상수벡터기 때문에 직선의 곡률은 이다.
[예제 2] 포물선의 곡률
포물선은 꼭짓점에서 곡률이 가장 크고, 꼭짓점에서 멀어질수록 곡률이 작아진다.
[문제 1] 원의 곡률
중심이 원점이고 반지름의 길이가 인 원의 단위 속력 곡선 를 구하고 곡선 의 곡률 가 임을 보이시오.
단위 속력 곡선은 유일한 곡률 함수를 갖는다. 반대로 곡률 함수가 정해졌을 때, 유일한 단위 속력 곡선이 대응되는지 확인해보자.
[활동 1] 곡률 함수에 대응되는 단위 속력 곡선
곡률 함수를 입력하고 곡선의 시작점, 시작 방향, 매개 변수의 최댓값과 최솟값 변화를 관찰하여 곡률 함수에 대응되는 단위 속력 곡선의 특징에 관해 설명해 보자.