6. Reta de Euler
Desenha um Triângulo ABC, encontra o seu baricentro, ortocentro e circuncentro. Será que pertencem à mesma reta?
G1
Vamos provar:
1. Encontra o ortocentro de um triângulo ABC.
2. Desenha um triangulo A'B'C' medial de ABC. Encontra o seu ortocentro do triângulo medial.
3. Encontra o circuncentro do triângulo maior.
4. Relaciona o ortocentro do triângulo medial A'B'C' e o circuncentro do triângulo ABC.
3. Encontra o baricentro dos dois triângulos.
4. Qual a transformação entre os dois triângulos?
5. Prova que o ortocentro, circuncentro, e baricentro, do triângulo ABC, formam um reta e relaciona a distância do ortocentro e circuncentro ao baricentro.
G2
Vamos provar:
1. Encontra o circuncentro (O) e ortocentro (H) do triângulo ABC.
2. Encontra o baricentro (G) do triângulo ABC.
3. Mostra que o circuncentro O é o o ortocentro do triângulo medial de ABC.
4. Relaciona os triângulos HGA' e OGA.
5. Prova que o ortocentro, circuncentro, e baricentro, do triângulo ABC, formam um reta e relaciona a distância do ortocentro e circuncentro ao baricentro.
G1
Encontrados o ortocentro, circuncentro e baricentro de um triangulo, o ortocentro vai ser o circuncentro de outro triangulo rodado 180º e com o dobro do tamanho com o mesmo baricentro.
Dado isto a distância do baricentro ao circuncentro é metade da distancia do ortocentro. E foram uma reta, chamada de "Reta de Euler".
G2
O baricentro G divide a mediana AA' em razão 2:1, GA = 2·GA'. A mesma razão aplica-se ao segmento HO: pela relação vetorial 2·OH = GH pois O é o ortocentro do triângulo medial que é semelhante de razão 2. E como os ângulos GAH e GA'O são iguais pois partilham um lado e os outros são paralelos (mediatriz e altura), os triângulos HGA' e OGA pelo critério LAL são semelhantes, logo como partilham o ângulo G, OG e GH pertencem à mesma reta, a reta de Euler.