Nullstellen (3): Substitution
- Autor:
- L. Böker
3. Substitution (biquadratischer Gleichungen)
Durch das Verfahren der Substitution lassen sich ganz spezieller ganzrationaler Funktionen bestimmen, nämlich solche, bei denen die Variable x nur in Potenzen und (neben einem additiven Glied +c) auftritt. Ein Spezialfall sind die sogenannten biquadratischen Gleichungen der Form
.
Die zugehörige Parabel 4. Grades kann dabei bis zu vier Nullstellen besitzen. Das Besondere an biquadratischen Gleichungen ist, dass sie stets symmetrisch zur y-Achse verlaufen (nur gerade Exponenten). Daraus folgt, dass eine biquadratische Gleichung entweder vier, zwei oder gar keine Nullstellen besitzt.
Für die Bestimmung der Nullstellen wird der Ausdruck durch eine andere Variable, z.b ersetzt (substituiert) und dann die wegen entstehende quadratische Gleichung in nach einem bekannten Verfahren (z.B. "p-q-Formel") gelöst.
Am Ende darf man aber nicht vergessen, die Variable wieder durch zu ersetzen (resubstituieren).
Dadurch vergrößert sich i.d.R. die Anzahl der Lösungen.
Beispiel 1:
Substituiere
"p-q-Formel" in z
Resubsituiere
Die biquadratische Funktion hat also vier Nullstellen.
Beispiel 2:
|:2
Substitution
"p-q-Formel"
Resubsitution
Da sich aus keine Lösungen ergeben, hat die ganzrationale Funktion nur zwei Nullstellen.
Beispiel 3:
Bei dieser Struktur, wo die mittlere Potenz gerade die Hälfte der größten Potenz beträgt, lässt sich ebenfalls die Substitution anwenden. Allerdings verläuft der zugehörige Graph wegen der Mischung von geraden und ungeraden Exponenten nicht mehr symmetrisch.
Resubstituiere
Anmerkung: Im Gegensatz zu Quadratwurzeln besitzen Kubikgleichungen immer eindeutige Lösungen. Es lassen sich Kubikwurzeln auch aus negativen Zahlen ziehen, also ist z.B. , denn es gilt:.
Im obigen Beispiel 3 besitzt der Graph also nur zwei Nullstellen, eine exakt bei 2, die andere etwa bei -1,26.