Problema de polaridad
Enunciado
Una cónica está dada por su centro O, un punto de paso M, y una tangente t con su punto de tangencia T.
Determinar los diámetros conjugados (con su magnitud) de forma que uno de ellos sea paralelo a t.
Solución
La solución se va desarrollando al mover el deslizador Paso.
- Tal y como dice el enunciado, uno de los diámetros, d', ha de ser paralelo a t, y al ser un diámetro tiene que pasar por O, el centro de la cónica.
- El punto impropio D∞ pertenece tanto a t como a d'.
- La polar de D∞, d, ha de ser por lo tanto el diámetro conjugado a d'. Como d es la polar de un punto impropio, ha de pasar por O, el centro de la cónica. Como D∞ está en la tangente t, su polar ha de pasar por el punto de tangencia T.
- La dirección conjugada a D∞ es D'∞ el punto impropio de d y polo de d'.
- Ahora es necesario determinar la magnitud de los diámetros, empezando por d.
- Dado que se conoce la distancia de O a T, es inmediato determinar el otro punto de corte de d con la cónica, T2. Pero, ¿cómo se puede determinar la magnitud de d'? Necesitamos disponer de una tangente y un punto de tangencia para poder definir la involución en d', y con ello los puntos dobles de la misma, y la magnitud del diámetro. No nos vale emplear t y T, dado que lo único que nos dice es que O es el centro de la involución en d'. La solución ha de pasar por emplear el punto M.
- Para ello aprovechamos que tenemos una involución definida, la de d. La recta b pasa por D∞ , por lo que su polo ha de estar en d.
- Dicho polo ha de ser el homólogo en la involución sobre d al punto B'.
- Dado que la involución es fundamentalmente una inversión, y que c sería la circunferencia de autoinversión, determinando el inverso de B',
- se saca el punto B. Nótese que también se podría haber hecho uso del hecho de que (BB'TT2)=-1, y determinar B con un cuadrivértice completo.
- Dado que M pertenece a b, la polar de B, la tangente por M, tM, ha de pasar por B.
- Eso permite definir la involución en d', empezando por P, la intersección entre tM y d'.
- La polar de P ha de pasar por el polo de d', D'∞ y también por el punto de tangencia M. El pie de la polar, P', es el homólogo de P en la involución subordinada en d'.
- Conocido el centro de la involución, O, se puede hacer uso del teorema del cateto,
- para determinar la potencia de la involución, k2.
- Los puntos dobles están entonces a distancia k de O.
- Lo que determina T3 y T4, y la magnitud del diámetro conjugado.
- En este último paso se muestra la cónica con sus tangentes paralelas a los diámetros determinados.