Binomialverteilung
- Autor:
- Jens Werbing
Sei X die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p. Das Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten P(X = k) = B(n; p; k) für k Treffer.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X heißt Binomialverteilung. X hat den Erwartungswert μ = np und die Standardabweichung =.
In einer großen Lieferung von Kinderüberraschungseiern befindet sich laut Herstellerangabe in jedem 4-ten Ei ein Schlumpf. Otto kauft 10-mal hintereinander ein Ei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergattert er insgesamt
genau einen Schlumpf ?
mindestens einen Schlumpf ?
mehr als drei Schlümpfe ?
bis zu drei Schlümpfe ?
mindestens drei, aber höchstens sechs Schlümpfe ?
Überprüfe folgende Aussagen über die Histogramme bei sich ändernden Parametern:
Mit wachsendem p wandert das Maximum nach rechts. (wähle n = 100)
Mit wachsendem n wandert das Maximum nach rechts. Die Histogramme werden breiter und flacher und allmählich symmetrisch. (wähle p = 0,75)
Die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke eines Histogramms ist 1.
Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten P(k1 ≤ X ≤ k2) wird für große Intervalle [k1; k2] und große n selbst mit dem Computer sehr aufwändig. Gerade für solche Fälle gibt es aber eine hinreichend genaue Näherungsformel, die im Folgenden hergeleitet wird.
Nach einer Vorlage von:
C. Wolfseher