Conchas de Caracol, hélices y sacacorchos
- Tema:
- Sólidos, Superficie
Estas superficies se obtienen al hacer girar una circunferencia o una elipse alrededor de un eje, al tiempo que la trasladamos en la dirección de ese eje, aumentamos su tamaño y la alejamos del eje.
- Según La forma de hacer las traslaciones y aumentar el tamaño, la superficie tendrá una forma diferente.
- Más concretamente, dependiendo de si los diámetros y la distancia al eje son constantes o no, obtendremos conchas de caracol, hélices, toros, etc.
Concha de caracol de crecimiento exponencial
Deducción de las ecuaciones paramétricas cartesianas
Para generar una concha de caracol, podemos partir de una circunferencia o una elipse y
- hacerla girar n veces alrededor de un eje,
- a la vez que aplicamos una traslación en la dirección del eje.
- Como la sección de la concha va disminuyendo/aumentando, también aplicamos un factor de escala. Mantenemos las circunferencias tangentes al eje de rotación.
- En la última vuelta, el centro de la correspondiente circunferencia estará a una altura y una distancia del eje.
- Por ejemplo, podemos utilizar crecimiento exponencial, con funciones como , o bien , o cualesquiera otras crecientes que se anulen para u=0 y, para valgan y , respectivamente.
- Los factores cos(u) y sen(u) que aparecen en las expresiones para x e y, son los utilizados para girar alrededor del eje que, en este caso, se ha tomado vertical.
- Mientras giramos, construimos las circunferencias de radio r(u) correspondientes a cada ángulo girado u, utilizando la componente z.
- Para ello, incluimos el factor r(u)·sen(v) en esa componente z.
- Para que sean tangentes al eje, deben distar de él f(u), por ser ese su radio. Así que, en las componentes x e y, aparece el factor que también podríamos reescribir utilizando la identidad .
- Si queremos que las secciones resulten elipses, tales que el cociente entre su eje vertical y horizontal sea k, bastará con reemplazar la expresión de z por z=h(u)+k · r(u)·sen(v).
![Fotografía de [url=https://www.geogebra.org/u/deborapereiro]Débora Pereiro[/url].](https://www.geogebra.org/resource/wmfw54uj/5G1Hz6wohTiNxJrO/material-wmfw54uj.png)
Generalizaciones
Podemos separar el centro de cada circunferencia una distancia R(u) del eje sin más que reemplazar el sumando r(u) por R(u) en las expresiones de x e y antes de multiplicar por cos(u) y sen(v).
En particular, tomando
- Una vuelta (n=1), el radio de cada circunferencia constante r, una separación constante R y altura h=0, tendremos la ecuación del toro.
- Tomando el radio y separación de cada circunferencia constante y lineal, resulta una hélice de radio de giro R, sección de radio r y n vueltas de paso h.
- Tomando como R una función lineal, tendríamos una hélice cónica.
Hélices generalizadas
Sacacorchos
Otro caso particular serían las superficies tipo "sacacorchos", que se obtienen como las anteriores, pero situando el centro de las circunferencias sobre el eje (R=0).
La ecuación paramétrica resultaría, por tanto: