Problème vectoriel
Problème vectoriel
Soumis par DAL ID sur Prepa.org
Trop tentant pour ne pas jouer avec Geogébra:
ABCD est un parallélogramme Le point « O » est le centre de ABCD « E » et « F » sont deux points de [AC], sachant que : AE=EF=FC La ligne (DF) coupe le segment de ligne [BC] au point « I » 1- Demontrez que le vecteur EC est égal au vecteur AF 2- Prouvez que O est le centre de [EF] puis deduire la nature du quadruple EBFD 3- Prouvez que I est le centre de [BC] 4- Prouvez que : (LES VECTEURS) AF=2/3 AB + 2/3 AD , AF=1/3 AB + 1/3 AD , AI= AB + 1/2 AD
1- Demontrez que le vecteur EC est égal au vecteur AF
Un vecteur peut être défini par
- Une même direction car alignés par définition (appartenant au même segment AC)
- Une même longueur car , par définition ( et A, E, F, C alignés)
- Un même sens par définition
2- Prouvez que O est le centre de [EF] puis deduire la nature du quadruple EBFD
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les segments diagonaux se coupent en leur milieu
O est donc à équidistance de A et C
AE=FC par définition
donc O est aussi à équidistance de E et F
Donc EBDF aussi un parallélogramme car les segments diagonaux se coupent en leur milieu
3- Prouvez que I est le centre de [BC]
intéressant
Considérons le triangle CEB.
F est le milieu de CE (par définition EF=FC)
FI est parallèle à EB car EBFD est un parallélogramme (cf §2)
Théorème de Thalès :
I est donc le centre de CB
4- Prouvez que : (LES VECTEURS) AF=2/3 AB + 2/3 AD , AE=1/3 AB + 1/3 AD , AI= AB + 1/2 AD
Là encore le théorème de Thales s'applique.
On introduits les points suivants:
- G et K projections de F et E parallèlement à AD
- H et L projections de F et E parallèlement à AB
- J projection de I parallèlement à AB
- ABC pour évaluer les longueurs de AG et AK en fonction de AB grâce au Théorème de Thalès
- ACD pour évaluer les longueurs de AH et AL en fonction de AD grâce au Théorème de Thalès
On pourrait transformer cet exercice en une énigme du style :
Soit un parallélogramme quelconque,
Soit le milieu d'un de ses côtés,
Quelle est la fraction du segment diagonal intersecté par la droite qui passe par ce milieu et le sommet opposé au côté qui permet d'intersecter ce segment ?