Rezept I zur Verfertigung einer bizirkularen Quartik ...
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Die Küchengeräte - oder Kochhilfen sind benutzerdefinierte circle-tools, siehe auch das geogebra-book moebius-Werkzeuge. . . . . mit Sechs - Eck - Verzierung
Rezept I zur Verfertigung einer bizirkularen Quartik mit Sechs-Eck-Verzierung
Es ist möglich, online zu kochen; jedoch müssen halbfertige oder fertige Ergebnisse gespeichert werden, sonst ist die Mühe umsonst! Empfehlen würden wir,
das Applet vorher downzuloaden; die Werkzeuge stehen dann zur Verfügung. Das Rezept selber ist als pdf-Datei unten anhängt.
Wem die Schritte I.1 bis I.6 zu zeitraubend sind, kann im Rezept II
mit den dort schon bereitgestellten Zutaten I.1 - I.6 weiter kochen!
I.1 : Man nehme 4 Punkte auf einem Kreis : die 4 Brennpunkte der zu verfertigenden Quartik.
Die Punkte können auch auf einer Geraden liegen. Es können auch Brennpunkte zusammenfallen! Dann erhält man aber nur Kegelschnitte, bzw. das,
was MOEBIUS-Transformationen daraus machen.
I.2 : Diese 4 Punkte kann man auf drei Weisen in 2 Punkte-Paare zerlegen.
Konstruiere zu jedem dieser Paare den orthogonalen Kreis zu durch diese Punkte.
Wie? Wenn die Punkte auf einer Geraden liegen, dann liegen die Kreis-Mittelpunkte auch auf der Geraden.
Andernfalls sind die Schnittpunkte der Tangenten an den Kreis die gesuchten Kreis-Mittelpunkte
I.3 : Konstruiere zu jedem dieser 3 Kreispaare den zugehörigen von verschiedenen Symmetrie-Kreis.
| Am schnellsten erledigen sich I.2 und I.3 mit den Werkzeugen: Symmetrie-Kreise zu 4 Punkten:
für 4 Punkte auf einem Kreis / für 4 Punkte auf einer Geraden |  | 
|
Selber? siehe I.3b
I.4 : Wähle auf irgendeinen Scheitelpunkt und konstruiere mit Hilfe der Symmetriekreise die anderen Scheitelpunkte.
I.5 : Konstruiere die 6 Scheitel-Kreise: sie sind orthogonal zu und gehen durch die Scheitelpunkte.
Wie? siehe oben!
Wenn 2 Brennpunkte zusammenfallen, gibt es nur eine weitere Symmetrie, und nur 3 Scheitelkreise, 2 davon gehen durch den doppelten Brennpunkt.
I.6 : Wähle einen der Brennpunkte aus, und konstruiere die zugehörigen Leitkreise!
Dazu muss man wissen, dass die Leitkreisen aus Symmetrie-Gründen orthogonal zu liegen. Und dass
die Spiegelungspunkte des ausgewählten Brennpunkts bei der Spiegelung an den doppelt-berührenden (DB)-Kreisen
auf den zugehörigen Leitkreisen liegen.
Die Scheitelkreise sind aber DB-Kreise. Spiegelt man F an den zu einer Symmetrie gehörenden
2 Scheitelkreisen, so erhält man die 2 Punkte eines Leitkreises auf .
Bei zusammenfallenden Brennpunkten geht einer der Leitkreise durch diesen doppelten Brennpunkt!
Nützlich ist es, erst einen Leitkreis zu konstruieren!
I.7 : Konstruktion der DB-Kreise: Wähle einen beweglichen Punkt L auf einem Leitkreis.
sei der zugehörige Symmetrie-Kreis. Man erkennt diesen an den definierenden Scheitelkreisen.
Falls der Symmetriekreis imaginär ist, nehme man die Hintereinanderausführung der Spiegelungen an den 3 reellen
Kreisen. F sei der ausgewählte Bennpunkt, F' der Spiegelpunkt von F an und L' der Spiegelpunkt von L an .
Der Schnittpunkt der Geraden FL und F'L' ist der Mittelpunkt M des zugehörigen doppelt-berührenden Kreises .
Da F und L spiegelbildlich zu liegen, ist orthogonal zu allen Kreisen durch F und L, also zB. orthogonal
zum Kreis durch F, L und L'; ist auch orthogonal zu .
Die Polare von M 
zu einem der beiden Kreise oder schneidet diesen in Punkten von 
.
I.8 : Konstruktion der Quartikpunkte und der Quartik als Ortskurve:
F'' und F''' seien die anderen beiden Brennpunkte, sie liegen spiegelbildlich zum Leitkreis.
Der Brennkreis durch F'' und F''' und L schneidet in 2 Quartik-Punkten. (Kontrolle: dieser Brennkreis ist orthogonal zum Leitkreis!)
Die Quartik ist die Ortskurve 
dieser beiden Punkte bezüglich L auf dem Leitkreis.
Der doppelt-berührende Kreis dk ist halbiert die Winkel zwischen den beiden Brennkreisen; der 2. Brennkreis geht
durch F und F' und durch die Kurvenpunkte.
I.9 : Sechs-Eck-Verzierung: Die Sechs-Eck-Bedingung ist in demjenigen offenen Gebiet zwischen den Kurventeilen gültig,
welches die Brennpunkte nicht enthält!
Durch jeden Punkt P in diesem Gebiet gehen zu jeder Symmetrie genau 2 Kreise, welche die Quartik doppelt berühren!
Es sei die Spiegelung, die zum Symmetriekreis gehöre, und P' der Spiegelpunkt.
F sei wieder der ausgewählte Brennpunkt und der zugehörige Leitkreis. | Fälle von F den Mittellot-Kreis zu P P' (zuerst P, P', dann F markieren!) |  |
(*) schneidet den Leitkreis in 2 Punkten, L1 und L2. | Fälle von P die Mittellot-Kreise , zu F L1, bzw. zu F L2 | |
Damit erhält man die zur Symmetrie gehörenden DB-Kreise durch P. Die Berührpunkte mit der Quartik findet man
als Schnittpunkte mit den Brennkreisen durch F'' und F''' und L1, bzw. L2.
Für die 3 möglichen Symmetrien ergeben sich also insgesammt 6 DB-Kreis-Scharen. Für eine 6-Eck-Verzierung muss
man 3 aus den zu verschiedenen Symmetries gehörenden DB-Kreis-Scharen auswählen!
Für eine funktionierende 6-Eck-Verzierung muss man darauf achten, dass die gewählten Schnittpunkte L mit
den Leitkreisen zusammenpassen:
es gibt immer 2 Schnittpunkte (*), für die DB-Kreis-Schar müssen diese Schnittpunkte nahe beieinander liegen.
I.3b : Wie konstruiert man die Symmetriekreise zu 4 Punkten auf einem Kreis (einer Geraden)?
Konstruiere zuerst alle zu orthogonalen Kreise durch je 2 der 4 Punkte. Das sind 6 Kreise. 2 davon schneiden sich.
Die beiden Winkelhalbierenden-Kreise sind 2 der Symmetriekreise, ist der 3., der 4. ist imaginär.
Achtung! Diese Konstruktion hängt von der Reihenfolge der 4 Punkte ab!
