Hiperbola megfeleltetése körrel centrális kollineáció segítségével
- Szerző:
- István Makai
Az ábrákon a sárga pontok mozgathatók.
Kapcsolódó ábrák:
Az eredményül kapott kör egyes részei megfeleltethetők a hiperbola ágai egyes részeinek:
- a körív P1' B' P2' része a hiperbola B csúcspontja környezetének,
- a P1' és a U2' közötti ív a jobb oldali hiperbolaág fölső részének,
- a P2' és a U2' közötti ív a jobb oldali hiperbolaág alsó részének,
- U1' A' U2' ív a hiperbola bal oldali ágának,
- végül a U1' és U2' a végtelen távoli pontok megfelelője.
1. Hiperbola metszése egyenessel
Adott: a hiperbola és az e egyenes (9. lépés).
Megjegyzés:
Az e egyenes képét annak Re pontja segítségével kapjuk (10-11. lépés). Ezen pont képe végtelen távoli pont (hiszen rajta van az r ellentengelyen), ezért e' párhuzamos lesz a centrum (F2) és az Re összekötő egyenesével. Az e egyenes képe természetesen bármilyen más megfontolás alapján is megszerkeszthető (érdemes átgondolni több változatot is, például az aszimptotákkal való metszéspontok és azok képei is könnyen megkereshetők, ha megszerkesztjük az első ábrához hasonlóan az aszimptoták képeit is).
2. Hiperbola adott irányú érintői
Adott: a parabola és az i irány (9. lépés).
Megjegyzés:
Párhuzamos egyenesek egy végtelen távoli (ideális) pontban metszik egymást. Az i irányhoz, azaz a vele párhuzamos összes egyeneshez egy ilyen pont tartozik (I∞), amelynek a képét (I') a centrumon (F2) áthaladó, i-vel párhuzamos egyenes metszi ki a q' ellentengelyen, amely a végtelen távoli egyenes végesbe eső képe (10. lépés). Ellentétben a parabolával, két végesben fekvő megoldást is kapunk (14-15. lépés), amelyek középpontosan szimmetrikusak a hiperbola O középpontjára (16. lépés). Érdemes átgondolni, hogy miért tűnik úgy, mintha az E1, E2 és O pontok más sorrendben lennének, mint a képeik (17-18. lépés).
3. Hiperbola külső pontból húzott érintői
Adott: a hiperbola és a hiperbolán kívül fekvő K pont (9. lépés).
Megjegyzés:
A K pont képét (K') a hiperbola B csúcspontján átmenő s egyenes segítségével szerkesztjük (10. lépés). Szürke színnel egy alternatív szerkesztést is feltüntettünk (11-12. lépés), K ponton keresztül párhuzamost húzva az egyik aszimptotával olyan egyenest kapunk, amelynek az aszimptotával közös végtelen távoli pontja van (U2∞). Ezen segédegyenes képe tehát áthalad ezen végtelen távoli pont végesbe eső képén (U2').