UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE PER L'EQUIVALENZA

1) Nel disegno sono raffigurati un triangolo ABC di area

e un quadrato DEFG di area

2) Apri la vista GRAFICI 3D, chiudi la vista GRAFICI e segui le istruzioni:

ISTRUZIONI



STRUMENTO  

Sull'asse z (che è colorato in blu) disegna il punto P di coordinata 4Punto Toolbar Image
Disegna la retta r passante per P e parallela all'asse x (che è colorato in rosso)Retta parallelaToolbar Image
Prendi un punto V e un punto U sulla retta r.PuntoToolbar Image
Disegna la piramide avente come base il triangolo ABC e come vertice V e la piramide avente come base il quadrato DEFG e come vertice U.PiramideToolbar Image

3) Le due piramidi hanno la stessa area di base e la stessa altezza, che è data dalla distanza tra il piano xy e il punto

4) Nascondi la retta r e il punto P e segui le istruzioni:

ISTRUZIONI

STRUMENTO


Sull'asse z disegna il punto Q di coordinata 1,5PuntoToolbar Image
Disegna il piano k passante per Q e parallelo al piano xy. Nascondi gli assi cartesiani e il punto QPiano paralleloToolbar Image
Interseca il piano k con ciascuna delle facce laterali delle due piramidi e indica i punti di intersezione con A', B', C', D', E', F'Interseca due superficiToolbar Image
Disegna il triangolo A'B'C' e il quadrilatero D'E'F'G'PoligonoToolbar Image

5) Per le proprietà delle piramidi il triangolo ABC e il triangolo A'B'C' sono

Analogamente: il quadrato DEFG e il quadrilatero D'E'F'G' sono

6) Segui le istruzioni:

ISTRUZIONI



STRUMENTO


Disegna la retta s perpendicolare al piano xy passante per V e la retta t perpendicolare al piano xy passante per URetta perpendicolareToolbar Image
Trova le intersezioni H, H' della retta s rispettivamente con il piano xy e con il piano k e le intersezioni K, K' della retta t con il piano xy e con il piano k. Nascondi le rette s, tIntersezioneToolbar Image
Disegna il segmento VH (che passa per H') e il segmento UK (che passa per K')SegmentoToolbar Image

7) I segmenti VH, UK sono congruenti perchè sono le

delle due piramidi (v. punto 3)

8) I segmenti HH', KK' sono congruenti perchè uguali alla

tra il piano xy e il piano k che sono tra loro

9) I segmenti VH' e UK' risultano congruenti per

di segmenti congruenti.

10) Per le proprietà delle piramidi il rapporto tra l'area del triangolo ABC e l'area del triangolo A'B'C' è uguale a

Seleziona una o più risposte corrette

11) Analogamente il rapporto tra l'area di DEFG e l'area D'E'F'G' è uguale a

Seleziona una o più risposte corrette

12) Dalle uguaglianze 9), 10) 11) si ricava l'uguaglianza per la proprietà

Seleziona una o più risposte corrette

13) Dall'uguaglianza tra le aree dei poligoni ABC, DEFG e dalla 12) si deduce che A'B'C' e D'E'F'G' hanno la stessa area. Le sezioni delle due piramidi con un piano parallelo alla base sono quindi

14) La dimostrazione non dipende dalla distanza tra il piano xy e il piano k, quindi per il principio di Cavalieri le due piramidi hanno lo stesso volume. Inoltre la dimostrazione non dipende dalla forma dei poligoni di base nè dal valore delle aree nè dal valore delle altezze delle due piramidi, ma solo dal fatto che le basi sono poligoni equivalenti e le altezze congruenti. Si può quindi enunciare che condizione sufficiente perchè due piramidi abbiano lo stesso volume è che i poligoni di base siano equivalenti e le altezze siano congruenti.