Retta e circonferenza

La posizione reciproca tra una retta e una circonferenza dipende dalla distanza tra la retta e il centro della circonferenza. Indichiamo con r il raggio della circonferenza e con OH la distanza tra il centro della circonferenza e la retta.
  • Se r<OH, diremo che la retta è esterna alla circonferenza;
  • Se r=OH, diremo che la retta è tangente alla circonferenza;
  • Se r>OH, diremo che la retta è secante la circonferenza.
Ora dimostreremo che, in base alle tre situazioni possibili, una retta e una circonferenza possono avere al più due punti in comune.

Ci servirà ricordare...

Teorema Se congiungiamo un punto A interno ad una circonferenza con un punto B esterno ad essa, allora il segmento AB ottenuto interseca la circonferenza in un punto P.

Enunciato

Teorema Date una circonferenza c ed una retta f, possiamo dire che:
  • se la retta è esterna alla circonferenza, non esistono punti di intersezione tra le due,
  • se la retta è tangente alla circonferenza, esiste un unico punto di intersezione tra le due,
  • se la retta è secante la circonferenza, esistono due punti di intersezione tra le due.
Ipotesi: OH < r (oppure OH=r, oppure OH > r) Tesi: f c = {C, D} (oppure f c = {H}, oppure f c = )

Dimostrazione

Alla lavagna!

Perché nel caso in cui la retta sia esterna alla circonferenza possiamo dire che i punti di intersezione sono due e non solo uno?

Verifica la tua risposta
Attenzione! In modo simile si può dimostrare anche il teorema inverso che si ottiene scambiando ipotesi e tesi. Ad esempio: se una retta e una circonferenza hanno due punti di intersezione, allora la retta è secante la circonferenza.