Metadatei: Wie viel passt hinein? Große Schachteln und mehr

Kurzinformationen

EF, Bereich Analysis
Intendiert ist eine Einführung in das Thema Extremwertaufgaben. Am Beispiel verschiedener Körper soll ermittelt werden, welche Variante des Körpers das größtmögliche Volumen bietet.
Link zum Geogebra-Material für die Lernenden: https://www.geogebra.org/m/ndfmtrt3
Weitere Materialien: (farbiges) Papier, Schere, Klebestift

Leitgedanke zur Aktivität

Die in diesem GeoGebra-Buch zusammengefassten Aktivitäten zielen darauf ab, eine Verbindung zwischen enaktiven Aktivitäten und den Darstellungsformen in Geogebra herzustellen, um anschauliche Vorstellungen zu Extremwerten zu verankern.

Vorwissen und Voraussetzungen

Die Schülerinnen und Schüler ...

verwenden das notwendige Kriterium und hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrempunkten (MSB NRW, 2023, S. 23, Funktionen und Analysis (A))

Beiträge zum Kompetenzerwerb

Die SchülerInnen...

nutzen Mathematikwerkzeuge zum Darstellen, Berechnen, Kontrollieren und Präsentieren sowie zum Erkunden (MSB NRW, 2023, S. 17, Arbeit mit Medien und Werkzeugen),
lösen innermathematische und anwendungsbezogene Problemstellungen mithilfe von ganzrationalen Funktionen (MSB NRW, 2023, S. 23, Funktionen und Analysis (A)),
unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich (MSB NRW, 2023, S. 23, Funktionen und Analysis (A)).

Didaktische Hinweise

Im Anschluss an dieses GeoGebra-Buch können die hier kennengelernten Vorgehensweisen, insbesondere das Kalkül für Extremwertaufgaben mit Haupt- und Nebenbedingen(en) und einem Lösungsweg mit Mitteln der Analysis auf andere Kontexte übertragen und dadurch weiter automatisiert werden. Das Wechselspiel zwischen Geometrie / Anschauung und Kalkül eigent sich aber auch für den weiteren Unterricht als roter Faden..

[i]Einordnung der Lernumgebung "Wie viel passt hinein? Große Schachteln und mehr" entsprechend der in [url=https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft]https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft[/url] vorgestellten didaktischen Spannungsfelder.[/i] — *Einordnung der Lernumgebung "Wie viel passt hinein? Große Schachteln und mehr" entsprechend der in https://www.geogebra.org/m/mgzrvuft vorgestellten didaktischen Spannungsfelder.*

1 | Die größte aller Schachteln

https://www.geogebra.org/m/ndfmtrt3#chapter/1014254 Die Mutter aller Extremwertprobleme - die Lernenden sollen sich dem Problem zunächst explorativ annähern und Schachteln basteln. Indem sie zielgerichtet darüber nachdenken, wie die größtmögliche Schachtel hergestellt wird, wird erstens ein Verständnis für die später benötigte Formel für das Schachtelvolumen in Abhängigkeit nur von der Schachtelhöhe aufgebaut und zweitens eine numerische Lösung des Problems angebahnt (https://www.geogebra.org/m/pguwz9kb). Beide Wege werden im weiteren Verlauf der Aufgabe beschritten: Die numerische Lösung (https://www.geogebra.org/m/rphkj4js) liefert bereits eine erstaunlich genaue Lösung, nämlich

für

. Zum Vergleich: Die exakte Lösung

liefert

. In der Aktivität https://www.geogebra.org/m/y9krmvfe wird die numerische Lösung in Beziehung gesetzt zu einer dynamischen Visualisierung. Hinsichtlich der exakte Lösung (https://www.geogebra.org/m/er8zkpet) ist inendiert, dass eine vorgegebene Lösung nachvollzogen wird - dadurch wird zugleich die Syntax (d.h. die Werkzeugsprache) und das strategische Vorgehen beim Lösen von Extremwertaufgaben verdeutlicht. Im Sinne einer allmählichen Exaktifizierung wird hier zunächst auf die Untersuchung der Ränder (beide leifern den Wert 0) verzichtet. Es ist der Lehrkraft überlassen, auf die prinzipielle Notwendigkeit dieses Schrittes hinzuweisen oder dies zu einem späteren Zeitpunkt zu tun.

2 | Pyramide aus einem Din-A4-Blatt

https://www.geogebra.org/m/ndfmtrt3#chapter/1081268 Während der Quader sicherlich diejenige geometrische Form ist, deren Volumen besonders einfach zu berechnen ist, sind die Berechnungen bei der Pyramide schon etwas anspruchsvoller. Für die Berechnung der Höhe muss der Satz des Pythagoras angewendet werden. Insofern diese Aufgabe in der EInführungsphase verwendet wird, muss für die Ermittlung der exakten Lösung das CAS von GeoGebra verwendet werden, weil die Funktion

für das Volumen in Abhängigkeit von

mit den in der EF bekannten Regeln nicht abzuleiten ist:

[b]Mögliche Lösung:[/b]
Der optimale Wert von t liegt bei (exakt) 4,2 cm.
Er liefert ein Volumen von ungefähr 110,44387 cm³. — **Mögliche Lösung:** Der optimale Wert von t liegt bei (exakt) 4,2 cm. Er liefert ein Volumen von ungefähr 110,44387 cm³.

Es werden noch zwei weitere Aktivitäten angeboten: Zunächst eine Variante, bei der das Pyramidennetz geschickter auf dem Din-A4-Blatt platziert ist als in der ersten Aktivität: https://www.geogebra.org/m/xmdqgczp Schließlich folgt eine Aktivität, in der nach der größtmöglichen Pyramide ohne Boden gesucht wird: https://www.geogebra.org/m/hsqghk5s Hier ist eine experimentelle Lösung intendiert.

3 | Kegel aus einem Din-A4-Blatt

https://www.geogebra.org/m/ndfmtrt3#chapter/1016656 Das hier zu untersuchende Problem ist verwandt mit den ersten beiden, jedoch wegen der Formel für den Zylinder anspruchsvoller als dieses. Wie die anderen Aktivitäten startet auch diese mit einem explorativen Zugang (https://www.geogebra.org/m/mthbwrdu). Anders als bei der Pyramide bildet das Basteln in diesem Fall keinerlei Schwierigkeit und sollte sehr schnell erledigt sein. In der zweiten Aktivität wird die optimale Tüte rechnerisch ermittelt (https://www.geogebra.org/m/wbnpfjn2). Die rechnerische Lösung wird entlastet, indem zunächst ein selbst gewähltes Beispiel berechnet werden soll. Hier muss, wie schon bei der Pyramide, der Satz des Pythagoras angewendet werden. Der Transfer vom Beispiel zum allgemeinen Fall und zur Berechnung der optimalen Lösung sollte keine größeren Schwierigkeiten mit sich bringen.

4 | Alles ist möglich

In der Abschließenden Aufgabe können die Lernenden kreativ sein und beliebige Körper aus einem Din-A4-Blattt formen. Es ist der Lehrkraft überlassen, wie viel Experimentieren und wie viel mathematisches Begründen hier erwartet wird. https://www.geogebra.org/m/vb8jguyt

Methodische Hinweise

Idealerweise wechseln sich GeoGebra-Aktivitäten und Unterricht ohne das Werkzeug GeoGebra ab. Die ganze Aktivität ist nicht als reiner Selbstlernpfad angelegt. Um die GeoGebra-Aktivitäten im Klassen-Setting einzusetzen, bietet es sich an, sie als GeoGebra-Classroom-Aktivität (https://www.geogebra.org/m/vexj65n9) zu realisieren.

Mögliche Weiterführung

Die hier betrachteten Extremwertuntersuchungen beschränken sich auf Körper, die aus einem Din-A4-Blatt hergestellt werden können. Wenn man intellektuell aufrichtig ist, genügt bei diesen Fragestellungen eigentlich eine numerische Lösung - die Notwendigkeit einer exakten Lösung ist jedenfalls schwer zu erklären. In anderen raumgeometrischen Zusammenhängen können auch Probleme betrachtet werden, in denen exakte Lösung benötigt wird, z.B. im Problem Zylinder in einer Kugel (https://www.geogebra.org/m/jx9rbr6y). Außerdem können natürlich zweeidimensionale Probleme in den Blick genommen werden, z.B. Große und kleine Parallelogramme (https://www.geogebra.org/m/adckeutm)

Referenzen

Hammer, Tobias; Schmidt, Reinhard (2015): Bring your own device (BYOD). Suche nach Extremwerten auf schülereigenen Geräten. In: Mathematik lehren, 32 (2015) 189, S. 30-35