Quadratischen Term faktorisieren
1. Schritt:
Prüfe, ob der quadratische Term einen konstanten Summanden (ungleich Null) hat.
z.B.: 2x² + 6x hat keinen konstanten Summanden.
z.B.: 3x² +12x - 36 hat den konstanten Summanden -36.
Falls nein: Man kann x (zusammen mit dem Leitkoeffizienten) ausklammern.
z.B.: 2x² + 6x = 2x (x+3)
2. Schritt:
Falls der Leitkoeffizient a (also der Faktor, der beim x² steht) NICHT 1 ist, klammere ihn aus.
z.B.: 3x² +12x - 36 hat den Leitkoeffizienten a = 3.
Also 3 ausklammern: 3x² +12x - 36 = 3 (x² + 4x - 12)
3. Schritt:
a) Wir betrachten nur noch den quadratischen Term in der Klammer!
z.B.: Von dem Term 3 (x² + 4x - 12) wird nur noch x² + 4x - 12 betrachtet.
b) Stelle den konstanten Summanden als Produkt zweier ganzer Zahlen dar.
z.B.: x² + 4x - 12 hat den konstanten Summanden -12.
Mögliche Darstellungen von -12 als Produkt zweier ganzer Zahlen:
-12 = -1 * 12
-12 = 1 * (-12)
-12 = -2 * 6
-12 = 2 * (-6)
-12 = -3 * 4
-12 = 3 * (-4)
4. Schritt:
a) Wenn die beiden Faktoren die Zahlen n1 und n2 sind, notiere das Produkt (x - n1)(x - n2).
b) Prüfe, ob beim Ausmultiplizieren des Produkts der benötigte lineare Summand entsteht.
z.B.: Der lineare Summand von x² + 4x - 12 lautet +4x.
(x+1)(x-12) = ... -12x + 1x ... [kommt nicht einmal in die Nähe von 4x]
(x-1)(x+12) = ... +12x - 1x ... [kommt auch nicht in die Nähe von 4x]
(x+2)(x-6) = ... -6x + 2x ... = ... -4x ... [das Vorzeichen stimmt nicht]
(x-2)(x+6) = ... 6x - 2x = ... +4x ... [PASST!]
(x+3)(x-4) = [muss nicht mehr geprüft werden, da Lösung schon gefunden]
(x-3)(x+4) = [muss nicht mehr geprüft werden, da Lösung schon gefunden]
5. Schritt:
Gib die vollständige Faktorisierung an, aber vergiss den Leitkoeffizienten nicht!
z.B.: 3x² +12x - 36 = 3 (x² + 4x - 12) = 3 (x - 2)(x + 6)
Robert Triftshäuser (14.10.2023)