Fibonacci Dizisi Üzerine Kombinasyon Hesapları

Orta çağda yaşamış olan ünlü matematikçi Leonardo Fibonacci tarafından bir problem durumu üzerinden ortaya konulan Fibonacci dizisi ifade edildikten sonra gerek matematikte gerek başta bilim, sanat ve doğa olmak üzere birçok alanda şaşırtıcı bir şekilde karşımıza çıkan, aradan uzun zaman geçmesine rağmen halen gizemini ve ihtişamını koruyan önemli bir matematiksel ifadedir. Bu yazıda bir teorem üzerinden diziye farklı yaklaşım sergileyip sayılar teorisi özelinde daha fazla anlamlandırmaya çalışacağız. Önce dizinin tanımı ile beraber teoremi yazalım. Teorem: , Fibonacci dizisi olsun. yani ve her için

olsun.

olur. Kanıt: Önce yerine birkaç değer yazıp, arttıkça ilerleyiş hakkında fikir sahibi olmaya çalışalım: ise,  ise, ise, ise, ise, ise, ise, ise, ifademiz doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı olduğu ve algoritmik olarak ilerlediği için kanıt için tümevarım metodunu deneyeceğiz. Önce başlangıç adımı: ve için sağladığı için sorun yok. Şimdi tümevarım adımı: ve iken, mi acaba? Bu sorunun cevabını bulmalıyız. Listenin ilerleyişi dikkate alındığında; yukarıdan aşağıya doğru toplamlara bakıldığında oluşan, Pascal eşitliklerine dikkat edelim. Örneğin, Bu şekilde devam edildiğinde her adımda toplamların bir sonraki Fibonacci sayısını verdiği görülecektir. Şimdi aritmetik olarak yaptığımız işlemi cebirsel forma uygulayıp tümevarım adımının doğru olduğunu gösterelim. ifadesini olarak ve ifadesini olarak yazabiliriz. Dönüştürdüğümüz ifadeleri toplayalım: [Pascal Eşitliği] Toplamı devam ettirelim: ve için olduğundan Olur kanıt tamamlanmıştır.