Kurve auf Bogenlängenparmeter bezogen

Für glatte Jordan-Kurven gibt es eine ausgezeichnete Parametrisierung nach der Bogenlänge , für die die Länge des Weges genau dem Parameter t entspricht. Beispiel Wir betrachten die Kurve , die in Polarkoordinaten gegeben ist. In Parameterdarstellung wird der Weg durch beschrieben und ist eine stetig differenzierbare Jordan-Darstellung mit für alle . Die Länge l des Weges kann berechnet werden mit . Mit und folgt

Da mit für alle ist, ist eine streng monoton wachsende Bijektion. Nun berechnen wir die Umkehrfunktion .

Damit erhalten wir die auf Bogenlängenparameter bezogene Form des Weges γ Diese Kurve γ ist im folgenden Applet gezeichnet. Man kann sich leicht überzeugen, dass die Bogenlänge und der Parameter t übereinstimmen.

Ein weiteres Beispiel

Eine analoge Berechnung ergibt für die Kurve (logarithmische Spirale) eine auf Bogenlänge bezogene Parametrisierung. Die Parameterdarstellung der logarithmischen Spirale lautet . Mit beträgt die Länge l der Kurve dann Die auf Bogenlängenparameter bezogene Parametrisierung ist dann .