Princípio da Demonstração
Argumento.
Vimos que nem todas as proposições são tautologias. Mas, suponha que "se p e q, então r" seja. Assim, sempre que as proposições p e q forem verdadeiras, r também é. Chamamos essa estrutura de argumento. Um argumento é composto por premissas (à esquerda de ) e de uma conclusão (à direita). Na Matemática, um argumento que é uma tautologia (válido) recebe o nome de teorema. Caso ele não seja uma tautologia, pode acontecer de que, mesmo com premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa. Apesar de simples, pode ser muito difícil realizar algumas demonstrações. Conjecturas como a dos primos gêmeos permanecem sem demonstração mesmo depois de séculos.
Um argumento é uma proposição do formato:
Teste de validade:
Para testar a validade de um argumento, criamos sua tabela verdade e analisamos se a coluna da condicional gera uma tautologia (sempre verdade). Por exemplo, vejamos se o argumento seguinte é válido:
1) Não q 2) Se p, então q 3) Logo, não p
Formas equivalentes.
Como vimos, existem algumas equivalências e implicações lógicas. Duas das mais importantes são a contrapositiva e redução ao absurdo. Veremos, adiante, exemplos de demonstrações usando essas equivalências. Mas, basicamente, como essas estruturas possuem sempre os mesmo valores-verdade, demonstrar uma é demonstrar a outra. Sendo assim, as três maneiras mais comuns de se demonstrar são:
Mostre que o seguinte argumento não é válido:
P1)Não p. P2)Se p, então q. C) Não q.
Mostre que o seguinte argumento é inválido:
P1) Se p, então q. P2)(não p) ou q. C) Se q, então p