Einfache Potenzgleichungen lösen

Gleichungen der Form [math]\text{a\cdot x^n=b}[/math] mit [math]\text{n}[/math] als [b]natürliche Zahl [/b]und [math]n\ge2[/math], bei denen die Basis [math]x[/math] gesucht ist, heißen [b]einfache Potenzgleichungen[/b]. Weiterhin wird vereinbart: [math]a[/math] und [math]\text{b}[/math] sind reelle Zahlen und [math]a\ne0[/math].[br][br]Gesucht sind die Lösungsmenge L und eine Menge von Näherungslösungen N.[br][br][color=#0000ff][b]Satz 1:[/b] Jede einfache Potenzgleichung besitzt [i]höchstens 2 [/i]reelle Lösungen.[br][br][b]Satz 2:[/b] Für die Lösungsmenge [math]L[/math] der Potenzgleichung [math]\text{a\cdot x^n=b}[/math] mit [math]\text{n}[/math] als [b]natürliche Zahl [/b]und [math]n\ge2[/math][/color] gilt:[br][br] [b][color=#0000ff]Fall 1:[/color][/b] Falls [math]\text{n}[/math] [color=#0000ff][b]gerade[/b][/color]: Wenn [math]a>0[/math], dann [math]L=\left\{-\sqrt[n]{\frac{b}{a}};+\sqrt[n]{\frac{b}{a}}\right\}[/math].[br][br] Wenn [math]a=0[/math], dann [math]L=\left\{0\right\}[/math].[br][br][br] Wenn [math]a<0[/math], dann [math]L=\left\{\right\}[/math] (leere Menge).[br][br][br] [b][color=#0000ff]Fall 2:[/color][/b] Falls [math]\text{n}[/math] [color=#0000ff][b]ungerade[/b][/color]: Wenn [math]a>0[/math], dann [math]L=\left\{\sqrt[n]{\frac{b}{a}}\right\}[/math].[br][br] Wenn [math]a=0[/math], dann [math]L=\left\{0\right\}[/math].[br][br] Wenn [math]a<0[/math], dann [math]L=\left\{-\sqrt[n]{\left|\frac{b}{a}\right|}\right\}[/math].[br][br]
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