Invarianten in Normalform-Basis
Zu 4 verschiedenen Punkten in der Möbiusebene gibt es eine Orthonormalbasis im Geradenraum ,
deren Pole , und die Punkte paarweise harmonisch trennen.
Wählt man die Orthonormalbasis als die Geradenvektoren mit den Polen , und
in einem euklidische Koordinatensystem, so besitzen die Punkte die Gauss-Koordinaten und für ein .
Identifiziert man die Achsen mit den orthogonalen Koordinaten-Achsen im Raum,
und als Riemannsche Zahlenkugel die Kugel mit Radius 1 um den Ursprung, so sind die Pole die Ecken eines Oktaeders.
Die Lage der 4 Punkte ist daher durch die Pole { } festgelegt bis auf (gleichsinnige) Möbius-Transformationen,
welche das Oktaeder invariant lassen.
Die Okteder-Gruppe besteht aus 24 gleichsinnigen Möbiustransformationen. Dazu gehören
- die Punktspiegelungen an den Achsen
- die Drehungen um eine der Achsen z.B. ,
- und die Permutationen der Achsen z.B.