Seccion 1.5 - Teorema de Steiner-Lehmus (Ejercicios)
Ejercicio 1
Sean BM y CN bisectores externos de los ángulos y de un triángulo especial ABC, cada uno en el lado opuesto.
Sin usar funciones trigonométricas, compare las longitudes de los bisectores angulares.
Respuesta:
Al mirar la figura notamos que BM = CN.
Notamos que al ser iguales, forma un isósceles, pero el teorema de Steiner-Lehmus no aplica a bisectores externos.
Ejercicio 2
2. ¿En dónde se cae la prueba del Teorema 1.51 si intentamos aplicarla al Triángulo de Bottema (en el cual nadie puede negar que B
Solución:
Notemos
, , .
Además, el punto M' no estaría entre B y M. Por lo tanto, Steiner-Lehmus no funciona para bisectrices externas.
Ejercicio 3
Utilice el ejercicio 7 de la sección 1.3 para obtener una prueba "directa" del Teorema de Steiner-Lehmus.
Respuesta:
Recordemos que el ejercicio 7 de la sección 1.3 nos dice que el cuadrado de la longitud del bisector BM es
entonces la longitud será
Similarmente con CN.
El Teorema de Steiner-Lehmus quiere que probemos que si dos bisectores de ángulo en un mismo triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles.
Para probar esto, igualemos BM con CN.
Además, como
entonces