Il Ponte dei Salti- problema di Matematica con l'utilizzo di strategie diverse

Argomento:
Matematica

(tratto da Bergamini, Matematica.blu 2.0, vol 5, pagina 1776)

Il Ponte dei Salti si trova in Svizzera, a Lavertezzo. Nell'immagine si può osservare il suo profilo, colorato in rosso. È richiesta la descrizione di questo profilo mediante un modello matematico (funzione). Nell'immagine è rappresentato anche un sistema di riferimento cartesiano opportunamente fissato.
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Descrivi il profilo del ponte in termini matematici, rilevandone le regolarità, eventuali zeri della funzione che lo modellizza, eventuali punti stazionari.

Nel sistema di riferimento fissato, rispetto a una data unità di misura, le coordinate dei massimi sono rispettivamente e , quelle del minimo sono . Le caratteristiche che hai rilevato sono tipiche di funzioni che hanno un'espressione analitica del tipo dove a, b, c, k sono numeri reali, e che possono essere utilizzate per modellizzare il profilo del ponte. Aiutandoti con gli slider nell'applet seguente, fornisci una stima dei valori di a, b, c, k che individui, all'interno della famiglia di funzioni, una possibile espressione analitica di f che rispetti le condizioni date

Risolvi ora il problema dal punto di vista analitico; utilizzando gli strumenti del calcolo differenziale, determina analiticamente i valori di a, b, c, k imponendo le condizioni sui massimi e sul minimo: a quali condizioni su f e sulla sua derivata f' corrispondono?

Il problema ammette un'unica possibile soluzione, ossia è unica la quaterna (a, b, c, k)? Giustifica la risposta

Quale, fra le quaterne (a, b, c, k) elencate di seguito,corrisponde a un'espressione analitica di f che rispetta le condizioni che hai posto?

Seleziona una o più risposte corrette

Confronta la soluzione analitica con quella trovata con GeoGebra. Scrivi di seguito le tue osservazioni

Ora prova tu a modellizzare l'immagine reale del ponte, adattando opportunamente l'unità di misura, inserendo il minimo e i due massimi e l'espressione analitica della famiglia di funzioni con quattro slider

Confronta il modello (la funzione) che descrive il ponte nella fotografia con quello che hai determinato con le condizioni date sui punti stazionari. Inserisci qui le tue osservazioni