Die Exponentialfunktion und ihre Ableitung
Wir beschäftigen uns heute mit verschiedenen Exponentialfunktionen und deren Ableitungen.
Zunächst wollen wir uns mit den Graphen unterschiedlicher Exponentialfunktionen vertraut machen.
Aufgabe 1
Untersuche, wie sich der Graph der Exponentialfunktion mit verändert, wenn du die Basis veränderst.
Achte dabei insbesondere auf das Monotonieverhalten, besondere Punkte und den Verlauf des Funktionsgraphen.
Nun wollen wir uns der Ableitung der Exponentialfunktion zuwenden.
Da wir (noch) keine spezielle Ableitungsregel für Exponentialfunktionen kennen, bestimmen wir die Ableitung mithilfe des Differentialquotienten und dem Einsatz von GeoGebra.
Aufgabe 2
Untersuche den Graphen der Ableitungsfunktion für verschiedene Basen . Vergleiche ihn jeweils mit dem Graphen von .
Wir wollen nun das Verhältnis zwischen dem Graphen der Exponentialfunktion und dem Graphen ihrer Ableitung genauer untersuchen, indem wir den Quotienten betrachten.
Aufgabe 3
Untersuche den Quotienten für verschiedene Basen . Beschreibe deine Beobachtungen.
Wir wollen nun untersuchen, für welche Basis der Quotient gleich wird. In diesem Fall sind die Funktion und ihre Ableitung identisch.
Dafür müssen wir den Differentialquotienten der Exponentialfunktion (also den Ausdruck im Nenner des Quotienten ) genauer bestimmen.
Aufgabe 4
Begründe die einzelnen Umformungsschritte.
Falls du Unterstützung benötigst oder deine Begründungen überprüfen möchtest, kannst du die Umformungsschritte einblenden und per Drag-and-Drop in das graue Feld neben die entsprechenden Pfeile ziehen.
Wir haben nun herausgefunden, dass gilt.
Unsere bisherigen Beobachtungen lassen vermuten, dass es eine Basis gibt, für die ist und für die damit für alle gilt.
Diese Basis existiert tatsächlich. Sie liegt zwischen und und heißt eulersche Zahl .
ist eine irrationale Zahl, also eine unendlich lange Dezimalzahl, die nicht periodisch ist. Näherungsweise gilt (keine Sorge, ist in deinem Taschenrechner eingespeichert).
Du solltest dir folgendes merken (und in dein Theorieheft schreiben):
2 Natürliche Exponentialfunktion
2.1 Natürliche Exponentialfunktion
Die Funktion mit heißt natürliche Exponentialfunktion (oder e-Funktion). Für ihre Ableitung gilt . Die Basis heißt eulersche Zahl.