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circles on darboux cyclide 1-sheet

Auteur :Walter Füchte

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books conics bicircular-quartics Darboux-cyclides (März 2021)

1-teilige Darboux Cycliden mit der Gleichung
  • ,
besitzen die Koordinatenebenen als Symmetrie-"Kugeln". Die Schnitte mit den Koordinatenebenen sind 1-teilige bizirkulare Quartiken. Die Brennpunkte der Quartik in der -Ebene sind mit (zum Beispiel!) . Die Brennpunkte in den beiden anderen Koordinatenebenen liegen analog. Auf jeder Achse liegen also 4 Brennpunkte. Diese fallen zusammenfallen in 2 Brennpunkte, wenn die Darboux Cyclide rotationssymmetrisch ist: d.h. 2 der Koeeffizienten sind identisch. Zu jeder der 3 bizirkularen Quartiken gibt es 2 Scharen doppelt-berührender Kreise. Damit gibt es insgesamt 6 Scharen von doppelt-berührenden Kugeln. Für einige dieser Scharen liegen die Kugeln ganz im Inneren, bzw. ganz im Äußeren der Cyclide, von den Berührpunkten abgesehen. Die Kugeln der übrigen Scharen schneiden die Cyclide in 2 Kreisen durch die Berührpunkte. Wir werde zeigen, dass es sich insgesamt nur um 2 verschiedene Scharen von Kreisen auf der Cyclide handelt. Im Falle der Rotationssymmetrie fallen die 2 Schnittkreise zusammen. Betrachtet man die Schar der konfokalen Cycliden, findet man als Grenzlagen Flächenstücke auf den Koordinatenebenen, welche berandet werden von speziellen 1-teiligen bizirkularen Quartiken, deren 4 Scheitel Brennpunkte auf den Achsen sind. Es handelt sich um die Fokal-Kurven. Oben ist gut zu sehen, dass die Kreise der Kreisscharen auf der Cyclide in den Schnitten mit den Fokal-Kurven verschwinden - oder entstehen. Jede Cyclide der konfokalen Schar wird von nur einer der 3 Fokal-Kurven in 4 Punkten geschnitten. Bemerkenswert ist ferner, dass einige doppelt-berührenden Kugeln die Cyclide in Kreisen schneiden, auch wenn die Berührpunkte nicht reell sind. Die Lage der Brennpunkte und damit die Form der Cyclide läßt sich ändern, wenn man die Fixierung fs-Fix aufhebt. Allerdings wollen wir nicht garantieren, dass dann alle Konstruktionen noch funktionieren! Zu den Rechnungen: siehe die Aktivität Formeln 2.

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