Cuestión 221
Del siguiente enunciado es autor Eduard Razvan Tomciuc (2023). Aquí se propone una solución al problema.
Para más detalles: https://javierzambrana.com/ (En construcción)
Enunciado (Eduard Razvan Tomciuc, 2023): Dos circunferencias, tangentes en el vértice a los lados y de un triángulo se cortan por segunda vez en el punto , que determina la ceviana con respecto al lado . Tomando , hallar el valor de la expresión .
Solución (J. Zambrana Aguilar, 2023):
La situación geométrica que se propone en el enunciado puede construirse a través de una homotecia directa. Para ello dibujamos un triángulo △B'C'E' y su bisectriz interior E'D' respecto al ángulo ∠A, que corta al lado B'C' en el punto D'. Seguidamente, hacemos una copia de ∠A con la finalidad de hacerel arco capaz de ∠A respecto al segmento B'C', cuyo centro es O', intersecando a la bisectriz en dos puntos.
De esos dos puntos nos quedaremos exclusivamente con aquel desde el que se subtiende el ángulo ∠A (y no 180º - ∠A), llamamos a ese punto A'.
Seguidamente situamos un punto P centro de nuestra homotecia directa en cualquier lugar. Trazamos las rectas que unen el centro variable P con los puntos A', B', C', D' y E'. Seguidamente trazamos una recta cualquiera sobre la que vamos a situar la longitud resultante de A'D' y sobre ella la longitud de una unidad. Mediante el trazado de sucesivas paralelas obtenemos los vértices de △ABC. Dibujamos las circunferencias tangentes a A con centros O1 y O2.
En el siguiente applet, donde se observa la construcción descrita pueden moverse libremente los puntos que determinan el triángulo △A'B'C' y el punto P.
Para la solución basta con notar las correspondencias entre ángulos indicadas, que demuestran la semejanza entre los triángulos △ABE y △ACE pudiéndose obtener una expresión para los valores de las longitudes de los segmentos EB y CE en función de un parámetro .
Por aplicación del teorema de la bisectriz interior de un triángulo (https://javierzambrana.com/2023/11/23/teoremas-de-la-bisectriz-del-angulo-de-un-triangulo/) se alcanzan las expresiones que se muestran para BD y DC. Por último aplicamos el teorema de Stewart (https://javierzambrana.com/2023/02/10/teorema-de-stewart/ o https://www.geogebra.org/m/m45n8d2e) en △ABC respecto a AD tomando |AD| = 1 (como se indica en el enunciado) se llega al resultado deseado.