la ley de los grandes números

El matemático italiano Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmó sin pruebas que la precisión de las estadísticas empíricas tienden a mejorar con el número de intentos.¹​ Después esto fue formalizado como una ley de los grandes números. Una forma especial de la ley (para una variable aleatoria binaria) fue demostrada por primera vez por Jacob Bernoulli. Le llevó más de 20 años desarrollar una prueba matemática suficientemente rigurosa que fue publicada en su Ars Conjectandi [El arte de la conjetura] en 1713. Bernouilli le llamó su «Teorema dorado», pero llegó a ser conocido generalmente como «teorema de Bernoulli". Este no debe confundirse con el principio físico de igual nombre, el nombre del sobrino de Jacob, Daniel Bernoulli. En 1837, S.D. Poisson describió con más detalle bajo el nombre de «la loi des grands nombres» (la ley de los grandes números).A partir de entonces, se conoce con ambos nombres, pero se utiliza con mayor frecuencia la «ley de los grandes números». Después de que Bernoulli y Poisson publicasen sus esfuerzos, otros matemáticos también contribuyeron al refinamiento de la ley, como Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli y Kolmogorov y Khinchin, que finalmente proporcionó una prueba completa de la ley de los grandes números para variables arbitrarias.​ Estos nuevos estudios han dado lugar a dos formas prominentes de la ley de los grandes números: una se llama la ley "débil" y la otra la ley "fuerte", en referencia a dos modos diferentes de convergencia de la muestra acumulada significa el valor esperado; en particular, como se explica a continuación, la forma fuerte implica la débil.⁶​ La ley de los grandes números viene a decir que (bajo ciertas condiciones generales) la media de n variables aleatorias X1,X2,...,XnX1,X2,...,Xn se aproxima a la media de las n todas las variables tienen la misma media μμ, entonces la media aritmética de las variables se aproxima al mismo valor. Un caso particular de esta ley es el principio de estabilidad de las frecuencias, o teorema de Bernoulli, que ya hemos visto. Efectivamente, recordemos que una variable de Bernoulli es aquella que toma solo el valor 0 o 1 cuando no ocurre (u ocurre, respectivamente) un suceso AA con probabilidades 1−p1−p y pp. Sumar nn variables de Bernoulli es contar el número de veces que se repite el suceso AA en nn pruebas. Una variable de Bernoulli tiene media pp (cálculo muy sencillo). Luego la media de nn medias sera también pp. La ley de los grandes números generaliza este resultado a experimentos donde no necesariamente repetimos siempre la misma prueba (como en el caso anterior). X1X1 podría contar si ocurre un suceso A1A1 (de probabilidad p1p1), X2X2 si ocurre un suceso A2A2 (de probabilidad p2p2 ), etc… con diferentes probabilidades cada uno. La ley de los grandes numeros establecerá la regularidad por cuanto la suma de frecuencias de ocurrencia de los sucesos tenderá a la media de las probabilidades (p1,p2,...p1,p2,...) El mismo Poisson lo explica sencillamente en su obra citada anteriormente: “Supongamos que lanzamos al aire una moneda de cinco francos, y observamos que, en 2.000 tiradas, la moneda sale cara 1.100 veces. Entendemos que hay una frecuencia o probabilidad constante de que la moneda salga cara, esto es, 11/20. Esta constante es la consecuencia de una causa común, de la manera en que está hecha la moneda y de la manera de arrojarla. Pero supongamos ahora que tiramos 2.000 monedas diferentes y obtenemos 1.100 caras. No podemos imaginar que las monedas tengan constituciones idénticas. Las causas y, por lo tanto, las probabilidades de salir cara, variarán de un caso a otro.” Muchos sucesos legales, sociales, de la moral y de las ciencias naturales son como el caso de las múltiples monedas. Cada viaje por mar es diferente. Poisson indicaba que un barco es atacado por un tifón, otro no, otro tiene un piloto incompetente y otro es atacado por piratas. No hay una causa constante que obre sobre los marinos, pero, sin embargo, existía un efecto constante, una proporción constante y demostrada de naufragios. Lo mismo ocurría con los jurados cuyos miembros varían en cuanto a sabiduría y prejuicios, pero que manifiestan un efecto general estable en las tabulaciones del Ministerio de justicia en cuanto a resultados prácticamente invariables de año a año. GEROLAMO CARDANO ​ fue un médico, además de un matemático italiano del Renacimiento, astrólogo y un estudioso del azar. Este filósofo y enciclopedista fue autor de una de las primeras autobiografías modernas.²​ También es conocido por ser el primero en publicar una solución general completa de la ecuación de tercer grado ³​ y de la ecuación de cuarto grado, y por sus aportaciones a la mecánica, como la suspensión cardán que lleva su nombre. Nacido en Pavía, Italia, Gerolamo Cardano era hijo ilegítimo de Fazio Cardano, un abogado con talento para las matemáticas que fue amigo de Leonardo Da Vinci. En 1520, ingresó en la Universidad de Pavía y estudió medicina en Padua consiguiendo excelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputación como médico en Saccolongo (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en distintas cortes (atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews). Salvando diversos obstáculos, fue aceptado en 1539 en el Colegio Médico de Milán, llegando a la cúspide de su profesión. En Bolonia, Cardano fue acusado de herejía en 1570 debido al tono polémico y agudo de sus escritos y por ser el autor del horóscopo de Jesús en 1554. Fue procesado por la Inquisición, pasó varios meses en prisión, abjuró y logró la libertad pero con la prohibición de publicar. Se mudó entonces a Roma y consiguió una pensión del Papa Gregorio XIII, y allí practicó la medicina, escribió libros médicos y terminó su célebre autobiografía. Murió en Roma (una leyenda dice que en el día que él mismo había predicho) y su cuerpo fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marcos. JACOB BERNOULLI Jacob Bernoulli (Basilea, 6 de enero de 1655 - ibíd. 16 de agosto de 1705), también conocido como Jacob, Jacques o James Bernoulli, fue un destacado matemático y científico suizo; hermano mayor de Johann Bernoulli (miembro de la familia Bernoulli). Siendo joven, su padre Nikolaus Bernoulli lo envió a la Universidad de Basilea para estudiar filosofía y teología, con el ánimo de que se convirtiera en teólogo. Pero Jakob continuó, a escondidas, las que eran sus auténticas aficiones: la física y las matemáticas. A partir de los planteamientos de Leibniz desarrolló problemas de cálculo infinitesimal. Fundó en Basilea un colegio experimental. Estudió por sí mismo la forma del cálculo ideada por Leibniz. Desde 1687 hasta su muerte fue profesor de Matemáticas en Basilea. Jacob I fue uno de los primeros en desarrollar el cálculo más allá del estado en que lo dejaron Newton y Leibniz y en aplicarlo a nuevos problemas difíciles e importantes. Sus contribuciones a la geometría analítica, a la teoría de probabilidades y al cálculo de variaciones fueron de extraordinaria importancia. Tenemos ya una muestra del tipo del problema tratado por el cálculo de variaciones en el teorema de Fermat sobre el tiempo mínimo. La matemática del problema se reduce a hacer que una cierta integral tome un valor máximo sometido a una condición restrictiva. Jacob I resolvió este problema y lo generalizó. El hecho de que la cicloide es la curva de más rápido descenso fue descubierto por los hermanos Jacob I y Johannes I en 1697, y casi simultáneamente por varios autores Durante un viaje a Inglaterra en 1676, Jakob Bernoulli conoció a Robert Boyle y Robert Hooke. Este contacto le inspiró una dedicación vitalicia a la ciencia y la matemática. Fue nombrado Lector en la Universidad de Basilea en 1682 y fue nombrado Profesor de Matemáticas en 1687. En 1690 se convirtió en la primera persona en desarrollar la técnica para resolver ecuaciones diferenciales separables. Se familiarizó con el cálculo mediante su correspondencia con Gottfried Leibniz, y colaboró con su hermano Johann en varias aplicaciones, siendo notable la publicación de artículos en curvas trascendentales (1696) e isoperimetría (1700, 1701). Su obra maestra fue Ars Conjectandi (el Arte de la conjetura), un trabajo pionero en la teoría de la probabilidad. La publicó su sobrino Nicholas en 1713, ocho años tras su muerte por tuberculosis. Los términos ensayo de Bernoulli y números de Bernoulli son resultado de su trabajo. También existe un cráter en la Luna bautizado cráter Bernoulli en honor suyo y de su hermano Johann. Siméon Denis Poisson Siméon Denis Poisson (francés: /simeɔ̃ dəni pwasɔ̃/; Pithiviers, Francia, 21 de junio de 1781 - Sceaux (Altos del Sena), Francia, 25 de abril de 1840) fue un físico y matemático francés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la electricidad y por sus publicaciones acerca de la geometría diferencial y la teoría de probabilidades. Poisson nació en Pithiviers, Loiret, hijo de Siméon Poisson. Su padre sirvió como soldado raso en las guerras de Hanover, pero disgustado por el trato abusivo que recibió de los oficiales nobles, desertó. Cuando nació su hijo, ocupaba diversos cargos administrativos, y al parecer estuvo a la cabeza del gobierno local durante el período revolucionario. Siméon Denis fue enviado primero con su tío, un cirujano de Fontainebleau, y comenzó a aprender el oficio, pero hizo pocos progresos. Tras mostrar los primeros signos de su talento como matemático, fue enviado a la Escuela Central de Fontainebleau, donde tuvo la oportunidad de tener una clase con un profesor receptivo, M. Billy, que se dio cuenta rápidamente de que era superado por su alumno, le alentó a aprender las ramas más difíciles de las matemáticas, y predijo su futura fama recordando unas líneas del famoso fabulista Jean de La Fontaine, jugando con el significado de su apellido en francés Fue nombrado barón en 1821; pero no obtuvo el diploma ni usó el título. En marzo de 1818, fue elegido Miembro de la Royal Society¹​ y en 1823 miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias. La Revolución de 1830 pudo suponer la pérdida de todos sus honores; pero este desdoro para el gobierno de Luis Felipe de Orleans fue hábilmente evitado por François Arago: mientras que la «revocación» de los cargos de Poisson estaba siendo tratada por el Consejo de Ministros, Arago le facilitó una invitación a cenar en el Palacio Real, donde fue abierta y efusivamente recibido por el rey ciudadano, que «se acordó» de él. Después de esto, por supuesto, su degradación fue imposible, y siete años más tarde fue nombrado Par de Francia, no por razones políticas, sino como representante científico. Convertido en un partidario acérrimo de la monarquía, es conocida su aversión al físico y matemático Louis Poinsot, con el que mantuvo enconadas discusiones científicas durante años, que adquirieron tintes políticos y acabaron con la destitución de Poinsot de sus cargos académicos cuando Poisson fue nombrado responsable de educación del nuevo gobierno monárquico en 1830. Como profesor de matemáticas se dice de Poisson que tuvo un éxito extraordinario, como era de esperar tras su temprano desempeño como répétiteur en la École Polytechnique. Como trabajador científico, su productividad es prácticamente insuperable. A pesar de sus muchos deberes oficiales, encontró tiempo para publicar más de trescientas obras, varias de ellas extensos tratados; y muchas otras memorias dedicadas a tratar las ramas más abstrusas de la matemática pura, de la matemática aplicada, de la física matemática y de la mecánica racional. Ejemplo de la ley de los grandes números Supongamos el siguiente experimento: lanzar un dado común. Ahora consideremos el evento de que nos salga el número 1. Como sabemos, la probabilidad de que salga el número 1 es de 1/6 (el dado tiene 6 caras, una de ellas es el uno). ¿Qué nos dice la ley de los grandes números? Nos indica que a medida que vamos aumentando el número de repeticiones de nuestro experimento (hacemos más lanzamientos del dado), la frecuencia con la que se repetirá el evento (nos sale 1) se acercará cada más a una constante, que tendrá un valor igual a su probabilidad (1/6 o 16,66%). Posiblemente, a los primeros 10 o 20 lanzamientos la frecuencia con que nos sale 1 no será del 16%, sino otro porcentaje como 5% o 30%. Pero a medida que hacemos más y más lanzamientos (digamos 10.000), la frecuencia en que aparece el 1 será muy cercana al 16,66%. En el siguiente gráfico vemos un ejemplo de un experimento real en donde se lanza un dado repetidas veces. Acá podemos ver cómo se va modificando la frecuencia relativa de sacar un determinado número. Tal como indica la ley de los grandes números, en los primeros lanzamientos la frecuencia es inestable, pero a medida que aumentamos el número de lanzamientos la frecuencia tiende a estabilizarse a un cierto número que es la probabilidad de que ocurra el suceso (en este caso números del 1 al 6 ya que se trata del lanzamiento de un dado).  Actividad. Aplicación de la Ley de los Grandes Números al estudio del lanzamiento de un dado.Con la ayuda de GeoGebra, vamos a realizar la siguiente actividad: 1. Construir un dado que vamos a lanzar muchísimas veces. 2. El programa hará un recuento de las veces que sale cada valor y calculará la frecuencia relativa de cada suceso. 3. Dibujaremos unos diagramas de barras en los que la X serán los valores que pueden salir al lanzar el dado y la Y será la frecuencia relativa de cada suceso. Recordemos: Sobre la actividad podemos hacernos las siguientes preguntas: 1. Activar el deslizador n. 2. Observar como cambia el diagrama de barras conforme aumentamos o disminuimos el número de lanzamientos. 3. ¿Se estabilizan alguna vez las barras?¿Cuántos lanzamientos son necesarios para que ésto ocurra?¿A qué valor se acercan las frecuencias relativas cuando las barras se estabilizan? ¿Qué es ese valor? Razona tu respuesta. 4. ¿Cómo podrías aplicar esta Ley para determinar si un dado es trucado? Razona tu respuesta.