加速・重力・光と時空

このワークシートはMath by Codeの一部です。 前回まで「慣性系」の相対性原理、つまり特殊な相対性理論を見てきたね。特殊相対性理論では平坦な時空間、ミンコフスキー時空間でしくみをつかんだ。テンソルの微分を調べることで、曲がった時空間、リーマン時空間でしくみがつかめるようになった。そして、アインシュタインのテンソルによって、エネルギー保存則がなりたつ曲率をつかんだ。今回からは、系が加速するときや重力と光の関係を調べる一般の相対性原理を探っていこう。

これまでの運動は、地面に水平な運動に速さｖで進む車の動きが中心だった。そして、観測するのは静止系Sと慣性系S'の２つだった。この２つの座標系の時空データをつなぐのがミンコフスキー空間のローレンツ変換だったね。光速ｃに対する移動速度ｖの割合をｋ＝v/cとするとき、 斜辺が１、残りの2辺がｋ,ｌの直角三角形を考える。ピタゴラスの定理から計算されるｌ＝sqrt(1- k²)で、ローレンツの短縮率はｌ。光速に近いｖで移動する車S'系では、S系からみて 長さ、時間がｌ倍に縮み、 速さ、質量がｌ分の１倍に大きくなるのだった。

自由落下＝無重力状態

１．等価原理

＜エレベータのひも切れたら中の人はどうなるか＞ ・その前に慣性力を確認しておきましょう。電車が慣性系になっている（静止または等速運動）しているとします。 F=ｍaで、a=0からa≠０になることを加速が始まるといいます。加速が始まるとFは≠０になりますね。この力を慣性力と言います。慣性力は加速と反対に働きます。慣性力は、力を加えてないのに働く力なので、みかけの力と呼ばれたりする。電車が前に急発進すると、前に加速するから慣性力は後ろにはたらきます。電車が急停止すると、後ろに加速するから慣性力は前にはたらきます。・その前にふつうに上の階にエレベータで上るときを考えてみましょう。まず、エレベータに乗るとき、エレベータは静止しています。エレベータが上向きに動き出します。エレベータが上向きに加速すると、重力（下向き）と慣性力（下向き）を感じるでしょう。エレベータのかごにかかる力は両方下向きですね。・エレベータのひもが切れたら、重力加速度で下向きに加速します。これが自由落下。すると、重力（下向き）と慣性力（上向き）が同じ加速度による力が逆向きにかかりつりあいます。 だから、重力の消えた無重力状態になると想像できるね。 つまり、エレベーターのかごの中では、「自由落下と無重量状態は同じ」と考えてよいでしょう。

重力質量＝慣性質量

＜重力と加速度は同じものか＞ A。地球を発射する前のロケットの乗員には地球の重力Gが働いている。 B。地球の重力がかからなくなる距離までとべば、ロケットの中の乗員は無重量になるでしょう。 C。その後、重力加速度と同じ量の加速をするとロケットの乗員には重力Gと同じ力が働く。さて、AとBを比べると、ロケットの乗員にとっては同じ力Gが働く。ロケットの乗員からすると「静止時の重力と無重量からの加速は同じもの」と考えてもよいのではないか。 慣性質量Mi＝重力質量Mg ＜等価原理＞ ロケットでの移動とか、エレベータの中での移動とか、重力が働く系でも、宇宙の中のせまい範囲では加速度によって打ち消すことができます。すると、局所的には慣性系として扱えるので、特殊相対性理論が成り立つ。これって、曲線を細分すると、直線に見えるというのと同じですね。だから、 「どんな場所でも局所慣性系では、すべての物理法則が同じ形で成り立つ。」 とアインシュタインは考えました。これが特殊相対性理論で「慣性系が等価であるとしたこと、等価原理」を一般化したのです。それを強調するために、一般相対性理論、等価原理と言われていますね。 ＜広大な宇宙の時空では＞ しかし、これは局所的な話であって、宇宙の広大な広さとは別です。ロケット、エレベータ自体で重力が消えたわけではありません。大きな質量の物体からの距離が大きくなると引力が小さくなっても、落ちる力はかかり続けています。この重力が消えて見える局所の事実と重力は消えないという大局の事実を両立させる道具が リーマン幾何学です。まがった線でも細分すると線分として見えて、それを接続すると曲線がつかめる。まがった時空間でも連続なら接平面（局所ミンコフスキー時空間）があり、それを接続すると、曲がった時空間全体がつかめる。つまり、局所慣性系をつないでいくと、重力によって曲がった時空になるというわけです。その曲がりの総体は重力のエネルギーの全体と等しいのではないか。それがアインシュタイン方程式のイメージです。幾何学＝物理学です。 時空間の幾何学｛Gij｝＝物質の分布とエネルギー｛Tij｝

２．光はなぜ曲がる

加速するロケットの中で、左の壁から右の壁へレーザーを撃つと、光が進んでいる間に床がせり上がってきます。ロケットの中では、光が放物線を描いて曲がったように見えるはず。そこで、さっきの等価原理を使ってみよう。「加速で起きることは、重力下でも起きる」のが等価原理です。今、ロケットの加速が原因で、ロケットの中の光は曲がりました。だから、重力がある場所でも光は曲がるはずだね。 質量のない光がなぜ曲がるのか、「光の通り道」である時空そのものが曲がっているいう結論が出ますね。 言い換えてみよう。 光は時空の網目に対して直進する。加速や重力によって時空の網目がゆがむ。 網目に対して直進している光でさえ曲がって進むというロジックができました。

加速するロケットの中で落下する光

重力によって、時空が曲がるというのはこんな感じです。網目の上を直進しても光は重力のもとになる物質に吸い寄せられるように進むことになるでしょう。

光もまがる時空間

３．重力場の方程式

＜時空の曲がり{Gij}＝物質の分布{Tij}＞ アインシュタインテンソルはGij = Rij −1/2gij Rだった。これに符号する物質量は運動量テンソルT^mnから導かれる。（μνとかかずに、mnにしました。） T00=W:電磁場のエネルギー密度。 T0i,Ti0=Si：単位断面を抜け出すエネルギーの流速。 Tjk=rjk：k軸に垂直な単位断面を単位時間にj方向に抜ける運動量の流れ。流れの密度。を成分とする対称行列です。 T^mn =Matrix([[W,Sx,Sy,Sz],[Sx,rxx,rxy,rxz],[Sy,ryx,ryy,ryz],[Sz,rzx,rzy,rz]]) 比例定数はc=1の単位系（自然単位系）で、 G_mn=R_mn-1/2g_mnR=8πGT_mn（c=1でないときは、左辺はc^4で割ります。）これが、アインシュタインの方程式です。これは重力と時空のゆがみの関係なので、重力場の方程式という名もありますね。くわしい導き方は、ニュートン理論、マクスウェルの方程式の量を4次元化（一般座標）にして関係性をさぐる方法と、テンソルにたいする測地線の方程式を求める、最小作用の原理、変分法と共役微分を駆使する方法などがありますが、詳細は略します。ただ、静止宇宙を可能にするために、左辺に宇宙項（宇宙定数）という計量テンソルg_mnの定数Λ（ラムダ）倍を加減してよいと、アインシュタインが提案したのですが、宇宙の膨張論により、彼自身撤回しました。しかし、その後は、ダークマターなどの関係で、観測上は存在は否定されていません。