Funciones Ck y Taylor de una variable
Funciones Ck. Desarrollo de Taylor de funciones Ck de una variable. Conmutatividad de las derivadas cruzadas.
Funciones Ck
Las funciones de una variable definidas en un intervalo abierto con todas sus derivadas continuas hasta cierto orden fijo, forman una familia bastante importante de funciones con interesantes propiedades. Esto justifica la siguiente definición.
Definición. Para se define como la familia de funciones continuas en , tal que,
existen en todo en y son continuas. Es decir, la función y todas las derivadas hasta orden existen en todo y son continuas. Si la función es para todo , entonces la función se dice que es .
Las funciones , son . La función:
es pero no ya que la derivada de es que es continua, pero no existe en .
Las funciones pueden desarrollarse en polinomios de Taylor, del siguiente modo,
con
(1).
Además, puede representarse como (fórmula de Lagrange),
donde es un punto intermedio entre y (que depende de ).
Observe que (1) se deduce fácilmente de la fórmula de Lagrange.
Observe también que si entonces,
Por ejemplo, si entonces . Lo que (1) dice es que es de menor orden que el término de menor orden de la suma de Taylor que es .
Ejemplo. Es un hecho de cursos iniciales de Cálculo que se expande como una serie de Taylor infinita,
para todo ( y la suma infinita son iguales para todo ). De este desarrollo infinito pueden leerse los desarrollos o polinomios de Taylor de un cierto orden. Por ejemplo, si quiero identificar el polinomio de Taylor de orden , debo quedarme con todos los términos del desarrollo infinito con potencias de menores o iguales a . Así tenemos,
Al deslizar el orden , se grafican en rojo los polinomios de Taylor de orden en . Observar que cuanto más grande es el orden más grande es el la región alrededor de en la que el polinomio es una buena aproximación. Cuando el orden es "", el desarrollo de Taylo y la función coinciden en toda la recta real.
Toda función , es desarrollable a cualquier orden por su polinomio de Taylor del correspondiente orden. Por supuesto la aproximación vale cerca del punto de desarrollo. Sin embargo, no toda función es desarrollable en un entorno del punto de desarrollo por su serie de Taylor infinita. La función es y es desarrollable en como ya lo comentamos, pero la función,
es y no es desarrollable en . Esto se ve del hecho de que y todas su derivadas en valen cero y por lo tanto su serie de Taylor infinita es idénticamente cero, sin embargo si .
Las funciones desarrollables en series de potencias se llaman analíticas. Las funciones analíticas son densas en las funciones .
Conmutatividad de las derivadas parciales cruzadas.
A continuación calculamos las derivadas parciales cruzadas de . Calculamos primero,
y de aquí,
Vemos que las derivadas cruzadas coinciden independientemente del orden en que se calculan. Este hecho es general para funciones al menos. El siguiente teorema que enunciamos sin demostración.
Teorema. Sea una función definida en un abierto de y . Entonces, las derivadas parciales con respecto a dos coordenadas y cualquiera, conmutan, es decir,
.
Este hecho puede usarse por ejemplo cuando uno calcula derivadas cruzadas de orden mayor a dos siempre y cuando la función sea con mayor o igual que el número de derivadas que se están tomando. Por ejemplo, si es , entonces,