Intersección de una parábola con una recta paralela a su eje
- Tema:
- Secciones Cónicas, Geometría
GP-36.1
Determinar los puntos de intersección de la recta r con la cónica (ABCDE∞)
Resolución
La recta r pasa por uno de los puntos de la cónica conocidos, el punto impropio E∞. De esa manera, una de las intersecciones es el propio punto E∞. Para determinar el segundo punto de intersección, se puede considerar la definición puntual de la cónica, en el que cada punto de la misma es intersección de rayos homólogos en una proyectividad que tiene como vértices puntos de la cónica. De esta manera, dado el rayo r, determinando el rayo r' se obtiene la intersección de ambos, que es un punto de la cónica.
- Se puede situar un vértice V sobre el punto E∞ que contiene a r.
- Proyectando desde dicho vértice los puntos de la cónica se obtiene el haz de rectas a, b, c y r.
- El otro vértice desde el que proyectar V', se puede situar sobre cualquiera de los puntos dados. En este caso, se ha escogido D=V'.
- Y al proyectar los otros tres puntos se obtiene el haz de rectas a', b', c'.
- Para poder determinar r' es necesario conocer primero el centro proyectivo c⊼. Como cualquier recta ij que une los puntos IJ' y JI', intersección de los rayos i y j', y los rayos j e i', respectivamente, pasa por el centro proyectivo, se puede tomar cualquier pareja de rayos, por ejemplo a-a' y b-b' para obtener los puntos AB', BA', y por lo tanto la recta ab, un lugar geométrico del centro proyectivo c⊼.
- Con cualquier otro par de rayos, por ejemplo c-c' y b-b', se obtienen los puntos BC' y CB', y por lo tanto la recta bc. En este caso, bc es paralela a ab, lo que quiere decir que el centro proyectivo c⊼∞ es impropio. Como el vértice V = E∞ es impropio, la tangente a la cónica por el vértice contiene al centro proyectivo c⊼∞, lo que quiere decir que la cónica es tangente a la recta impropia, es decir, la cónica es una parábola. Esa es la razón por la cual los datos del problema (A, B, C, D y r) no se pueden mover de manera completamente libre.
- Se puede comprobar que con la otra combinación de elementos disponible, a-a' y c-c', se obtienen los puntos AC' y CA', y la recta ac también es paralela, y pasa por el centro proyectivo c⊼∞.
- Para el siguiente paso se ocultan los elementos utilizados para la determinación de c⊼∞. Tomando cualquier pareja conocida, en este caso a-a', el punto RA' es la intersección entre el rayo r y el rayo a'.
- La recta ra ha de pasar por lo tanto por el punto RA' por el centro proyectivo c⊼∞.
- La intersección entre la recta ra y el rayo a es el punto AR', que es el punto de intersección del rayo a y el rayo r'.
- Lo cual determina el rayo r'.
- La intersección entre rayo r y el rayo r' es el punto R, que es el otro punto de r que pertenece a la cónica.