Wie groß sind die beiden Kinder im Vergleich? | Näherungsverfahren zur Flächenberechnung unter Graphen | Didaktische Hinweise
Kurzinformation
- Qualifikationsphase Mathematik, Grund- und Leistungskurs
- Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A)
- Vergleich unterschiedlicher Näherungsverfahren (Mittel-, Unter-, Ober-, Trapezsumme) in Hinblick auf Genauigkeit und Berechenbarkeit
- Link zum Material für Lernende: https://www.geogebra.org/m/tdww3mbv
Leitgedanke zur Aktivität
"Wie groß sind die beiden Kinder im Vergleich?"
Das Rekonstruieren der Körpergröße von Kindern aus der Wachstumsgeschwindigkeit ist die Leitfrage dieser Lernumgebung.
Hier sind unterschiedliche Ideen zu Berechnung der Flächen unter Graphen denkbar und man sollte zunächst maximalen Freiraum und auch Zeit gewähren, diese Ideen zu entwickeln und zu konkretisieren.
Starke Lernende dürfen ohne weitere Unterstützung ausgehend von der offenen Problemstellung Methoden zur Flächenberechnung entdecken, systematisieren und bewerten.
Um die Untersuchung eines Verfahrens und den Vergleich der Verfahren untereinander zu entlasten, können in analog aufgebauten Aktivitäten rechteckige Verfahren (Funktionswertnäherung, Treppennäherung, Zwischenwertnäherung und Ober- und Untersumme), sowie trapezförmige Näherungsverfahren (Vieleck und Trapeze) untersucht werden (vgl. Didaktische Hinweise).
Mit Hilfe der dafür erstellten Werkzeuge lassen sich die verschiedenen Methoden schnell ausführen und untersuchen bzw. vergleichen. Während starke Lernende ohne diese Unterstützung auskommen mögen, erlauben sie schwächeren Lernenden die Grundvorstellungen Kumulation und Gesamteffekt aufzubauen und zu vertiefen und die Verwandschaft zwischen den Verfahren zu entdecken.
Die Art und Anzahl der zu vergleichenden Verfahren (rechteckig, trapezförmig) kann dabei auf die jeweilige Lerngruppe angepasst werden (vgl. Didaktische Hinweise).
Ein möglicher Ablauf mit den bereitgestellten Materialien ist im nachfolgenden Diagramm dargestellt.
Vorwissen und Voraussetzungen
Die Schülerinnen und Schüler können...
- Grundfunktionen von GeoGebra-Grafikrechner nutzen (insbesondere mehrstellige Werkzeuge nutzen, Punkte erstellen, Nutzen von Schieberegler, Objekte verschieben).
- Flächeninhalte von Rechtecken und Trapezen berechnen.
- Modellierungen im Hinblick auf Genauigkeiten analysieren.
Beiträge zum Kompetenzerwerb
Die Schülerinnen und Schüler ...
- Modellieren eine kontextuelle Problemstellung in allen 9 Schritten (MSB NRW, 2023, S. 18, Modellieren (1) - (9))
- wählen heuristische Hilfsmittel (z.B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren aus, um die Situation zu erfassen (MSB NRW, 2023, S. 19, Problemlösen),
- erläutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs nach (MSB NRW, 2023, S. 27, Funktionen und Analysis (A)),
Didaktische Hinweise
Die ganze Aktivität ist so angelegt, dass sie als GeoGebra-Classroom-Aktivität (https://www.geogebra.org/m/vexj65n9) eingesetzt werden kann. Alternativ können die einzelnen Fragestellungen natürlich auch schriftlich im Heft/in der Mappe beantwortet werden.
1. Explorative Phase:
Die Lernenden bearbeiten die offene Problemstellung "Wie groß sind die beiden Kinder im Vergleich?" (Aktivität 1) mit freier Wahl des Lösungsweges. Optional können die Aktivitäten zur systematischen Untersuchung der Verfahren als Hilfestellungen genutzt werden, um Lernenden Lösungsansätze zur Verfügung zu stellen, wenn diese keine eigenen zielführenden Ansätze finden.
Die Lernenden sollen erkennen, dass alle Ansätze über eine implizite Flächenberechnung zu einer Lösung führen. Dies mündet in die weiterführende Frage, welcher Ansatz der beste ist.
2. Systematisierende Phase:
Die Lernenden ordnen ihren Lösungsansatz einer Kategorie zu und vergleichen die Lösungsansätze dieser Kategorie systematisch.
Starke Lernende können die eigenen Ideen weiterverfolgen, schwächere Lernende können mithilfe der bereitgestellten Aktivitäten auf Methoden fokussiert und strukturell entlastet werden. Alle Materialien zur Untersuchung der Verfahren sind strukturell ähnlich aufgebaut, um den Vergleich zu erleichtern.
Die Verfahren sind in rechteckige und trapezförmige Ansätze gegliedert. Die Lernenden sollen erkennen, dass Ober- und Untersumme eine präzisere Fehlerabschätzung ermöglichen und sich daher besser mathematisch verallgemeinern lassen, jedoch in der Grenzwertbetrachtung bei gegebener Berechenbarkeit zu den anderen Verfahren äquivalent sind.
Die speziellen GeoGebra-Werkzeuge zur Untersuchung der einzelnen Näherungsmethoden entlasten bei Konstruktion und Einzelberechnungen. Die Lernenden müssen die Werte jedoch bewusst selbst kumulieren, um den Gesamteffekt nachzuvollziehen.
Schieberegler
Aktivität 1 | Wie groß sind die beiden Kinder im Vergleich?
https://www.geogebra.org/m/mvr46wda
In einem einleitenden Video wird der Kontext und die Problemstellung aufgezeigt. Hier steht der offene und explorative Einstieg im Vordergrund. Die in dieser Aktivität von den Lernenden begangenen Lösungsstrategien sollten zum Abschluss gesammelt und klassifiziert werden.
Aufgrund des offenen Zugangs werden hier Schülerlösungen erwartet, die sich in der Formalisierung unterscheiden, die aber aufgrund der Problemstellung im Wesentlichen rechteckig oder trapezförmig sein werden.
Zusatzmaterial Kurven für "Wie groß sind die beiden Kinder im Vergleich?"
Lösungen zur Problemstellung
Aktivität 2 | Auswahl der zu vergleichenden Verfahren
https://www.geogebra.org/m/dyh9de9s
Diese Aktivität dient als Wegweiser bei der Verzweigung des Lernpfades. Die Näherungsverfahren sind in die Kategorien rechteckige und trapezförmige Näherungsverfahren unterteilt. Die Lernenden wählen die Kategorie, die das Verfahren enthält, das am besten zum eigenen Lösungsweg passt. Dann untersuchen sie das eigene Verfahren und die Verfahren in der gleichen Kategorie auf Genauigkeit und Fehlerabschätzung.
Die Verfahren sind nach Kategorie in GeoGebra-Büchern zusammengefasst:
Rechteckige Näherungsverfahren
- Funktionswertnäherung
- Treppennäherung
- Zwischenwertrechtecke
- Ober- und Unterrechtecke
- Vieleck
- Trapeze
Aktivität 3 | Rechteckige oder Trapezförmige Näherungsverfahren - Welches ist besser?
https://www.geogebra.org/m/brs2kbdq
In dieser Aktivität werden die unterschiedlichen Verfahren untereinander und bei sinkender Intervallbreite verglichen. Dazu werden neue dreistellige Werkzeuge eingeführt, die in ihrem Wesen bereits bekannt sind. Ober-, Unter-, Mittelrechteck_n und Trapeznäherung_n erfordern zusätzlich zu einem Punkt auf dem Graph und den Graph auch eine Zahl . Diese Zahl definiert die Intervallbreite . Zum Vergleich der Verfahren ist es sinnvoll als Zahl den vordefinierten Schieberegler einzugeben. Dann kann für alle Methoden simultan der Einfluss der Intervallbreite auf die Genauigkeit untersucht werden.
Der Schieberegler kann die Werte annehmen, was im Kontext bedeutet, dass für in jedem Monat gemessen wird.
Durch Variation der Intervallbreite ist auch die Idee der Konvergenz der Ober- bzw. Untersumme an den wahren Wert (hier am besten genähert durch Mittelrechteck- bzw. Trapezsumme).
Beim Werkzeug Mittelrechteck hat die Wahl des Punktes innerhalb des Intervalls keinen Einfluss auf die Höhe des Rechtecks, da hier der Mittelwert der Funktionswerte an den Intervallrändern die Höhe definiert.
Variation der Aufgabenstellung
Die Auswahl der gegebenen Applets kann auf die Stärke der Lerngruppe oder auch auf einzelne Lernende zugeschnitten werden. Während der kleinschrittige Zugang bei den rechteckigen Lösungsstrategien gerade Schwächeren hilft, können stärkere Lernende dazu animiert werden, in allen Fällen einen formelhaften Zusammenhang zur Berechnung der genäherten Flächeninhalte anzugeben.
GeoGebra-Werkzeuge
Die verwendeten Werkzeuge sind in diesem Buch zusammengestellt und können wie dort angegeben in bestehende Aktivitäten integriert werden. Die Abbildungen und die Werkzeuge sind zur freien Verwendung lizenziert:
https://www.geogebra.org/m/pr89ns8w
Dokumentation:
Referenzen
Literatur: Hußmann, S. (2003). Mathematik entdecken und erforschen: Theorie und Praxis des Selbstlernens in der Sekundarstufe II. Cornelsen, S. 69