Hauptachsentransformation - HAT R²

HAT Ellipse R2

Eine Koordinatentransformation dreht und verschiebt die Koordinatenachsen damit eine Kegelschnittgleichung in Normalform dargestellt werden kann xT A x + aT x + a0 =0 JordanDiagonalization(A) ==> JD= {Matrix Eigenvektoren JD(1), Diagonalmatrix Eigenwerte JD(2)} S=JD(1) normalisieren und Determinante =+1 (Drehung erzeugen - ggf. (-1)evi !) Drehung S (gemischter Summand xy eliminiert) xT S-1AS x + aTS x + a0 =0 ==> xTD x + aTS x + a0 r11 x2 - r10 x + r22 y2 + r01 y = r0 Quadratische Ergänzung - Translation (Verschiebung) c11 x2 + c22 y2 = c0
Ellipse {...] Punkt
Hyperbel Geraden X
Parabel Geraden || oder {..}
===> Zuordnung des Kegelschnitt zu den Kegelschnitttypen:
  • Ellipse, Punkt oder leere Menge bei gleichem Vorzeichen der Eigenwerte (|A| > 0)
  • Hyperbel oder Geradenpaar bei verschiedenem Vorzeichen der Eigenwerte (|A| < 0)
  • Parabel, Parallelenpaar, Gerade oder leere Menge, falls 0 ein Eigenwert ist (|A| = 0).
Bei Eingabe einer Kegelschnittgleichung hat ggb die Aufgabe inntern bereits durchgezogen und gibt das Bild des gedreht, verschobenen Kegelschnitts im Grafikfenster aus. Das Applet ermittelt die Transformationsschritte und stellt die dabei berechneten Kegelschnittgleichungen im gleichen Koordinatensystem dar - die Koordinatentransformation kann an dem entsprechenden Koordinatenursprung (Achsen +) und (Achsen + ) abgelesen werden. Toolbar ImageGrundlagen: Mathebibel

HAT Ellipse R² X

Technische Hinweise

Technische Hinweise
Beispiel HAT: Ellipse 4x² + 4y² + 2x y + 10x - 6y = 20
Das Auslesen der Koeffizienten funktioniert z.Z nur über AlgebraView, was zur Rundung von Variablen () führt. Das kann zu Rundungsfehlern, mit z.T. dramatischen Folgen, führen. Z.B. x² + 3y² + 2sqrt(3) x y - sqrt(3) x + y = -4 ==> Arndt Brünners Quadrik-Rechner kommt auf 4x2 = 7943034424934198 In diesen Fällen die Matrixgleichung DIREKT eingeben und die CAS-Zeilen überschreiben. 5: C:={1,3,4,2sqrt(3),-sqrt(3),1} Nach dem im CAS eingegeben wurde, kann auch die Gleichung auch in die Inputbox geschrieben werden! Falls der Befehl Coeffizents auch im CAS zur Verfügung gestellt wird kann sich das auch mal ändern! Zum Erstellungszeitpunkt macht es große Probleme das Matrix-Vektor-Produkt einer Quadrikgleichung xT A x + aT x =ao zu berechnen - einige Workarounds sind eingebaut - falls auf meinen Bugreport reagiert wird kann evtl. darauf verzichtet werden oder schlimmer der Workaround ein Problem werden?

Direkt Eingabe im CAS (zur Vermeidung von Rundungsfehlern)

Direkt Eingabe im CAS (zur Vermeidung von Rundungsfehlern)
Beispiel HAT: entartete Quadrik direkte Eingabe der Kooeffizienten ins CAS x² + 3y² + 2sqrt(3) x y - sqrt(3) x + y = -4 C={1,3,4,2 sqrt(3), sqrt(3),1}