Potenzfunktionen und Polynome
- Author:
- Stefan Görig
Dieses Applet veranschaulicht den Einfluss einzelner Potenzfunktionen auf den Verlauf eines Polynoms.
Kurzanleitung: Mit den blauen Punkten links kann man Objekte ein- und ausblenden.
Aufgabe 1: Blenden Sie nur die ungeraden Potenzfunktionen ein und ziehen Sie die Regler der zugehörigen Koeffizienten auf 1. Welchen Verlauf haben diese ungeraden Potenzfunktionen im Allgemeinen?
Aufgabe 2: Blenden Sie nur die geraden Funktionen ein und beantworten Sie Frage 1 entsprechend.
Aufgabe 3: Blenden Sie nun alle Potenzfunktionen (g_n(x)) aus und nur die Polynomfunktion f(x) (rote Kurve) ein. Ziehen Sie den Koeffizienten a_4 auf 1, a_2 auf -1, den Rest auf 0. Geben Sie an, welcher Potenzfunktion g_n(x) die Polynomfunktion f(x) in der Nähe von x=0 ähnelt. Welcher ähnelt sie weiter weg von x=0?
Aufgabe 4: Testen Sie das in Aufgabe 3 besprochene Prinzip auch für g_3(x), g_5(x) und f(x): Blenden Sie nur diese drei Funktionen ein und geben Sie an: In Welchem Bereich folgt f(x) eher g_3(x), in welchem eher g_5(x)?
Aufgabe 5: g_4(x) = x^4 liegt über der x-Achse, g_(x) = x^2 auch. Wie viele Nullstellen erwarten Sie für das Produkt f(x) = 1 x^4 + 2 x^2? Überprüfen Sie Ihre Vermutung (wer mag: Rechnung) am Graphen. Wie viele Nullstellen erwarten Sie für 1 x^4 - 2 x²? Erklären Sie das Ergebnis mit den Erkenntnissen aus Aufgabe 3.
Aufgabe 6: Geben Sie eine Polynomfunktion vom Grad 5 mit 5 Nullstellen an.