GeoGebra

Geradenraum als Lie-Algebra

Auteur :Walter Füchte
Der komplexe dreidimensionale Geradenraum ist mit einer nichtausgearteten quadratischen Form versehen. Darüberhinaus wird mit Hilfe einer Determinante ein alternierendes bilineares Produkt erklärt - auf dieselbe Weise, wie das Kreuzprodukt in einem euklidischen Vektorraum definiert wird: Für je zwei ist die Abbildung
  • 
eine Linearform von in . Es gibt daher genau einen mit bezeichneten Vektor, für welchen gilt
  •   für alle .
Die für das komplexe bilineare alternierende Produkt geltenden Regeln basieren auf der
  • Lagrangeschen Identität ,
hier steht rechts die Gramsche Determinante. Für das Lie-Produkt gelten mehrere nützliche Regeln:
  • , womit die Diskriminante erklärt ist.
Diese Regel ist ein Spezialfall der allgemeinen Entwicklungsregel:
  • ,
aus welcher unmittelbar folgt:
  • 
und schließlich die Jacobi Identität:
  • 
Über die Abbildung läßt sich identifizieren mit der Lie-Algebra   der speziellen orthogonalen Gruppe . Wir werden an anderer Stelle zeigen, dass mit der Exponentialabbildung jede gleichsinnige Möbiustransformation erfasst wird:

Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene.

Nouvelles ressources

Découvrir des ressources

Découvrir des Thèmes