Límite de una función en un punto - continuidad

Autor:: Manel Martínez i Pascual

Fíjate en el applet siguiente. Tienes la pantalla dividida en tres trozos:

A la izquierda puedes introducir, en una casilla de entrada, la función que desees y el punto donde quieras realizar el estudio. Automáticamente obtendrás los límites laterales de la función en el punto definido. Fíjate que para introducir una función a trozos en GeoGebra sólo tienes que utilizar el comando Si[dominio del 1r trozo, función, dominio del 2º trozo, función,...]
En la parte central tienes la gráfica de la función. Ahí puedes ver cómo se comporta f en torno al punto donde has decidido estudiarla.
A la derecha tienes una tabla de valores.

1. El límite de esta función f(x)=Si[x<0, x+1, x>=0, x²] cuando x tiende a 0 ...

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Comprova la meva reposta (3)

2. Para que el límite de una función cualquiera exista en x=a es necesario...

Marqueu on calgui

A
que exista f(a)
B
que los límites laterales de f en x=a sean finitos y coincidan
C
que coincidan los límites laterales de f en x=a
D
que exista f(a) y coincida con el valor de los límites de f en x=a
E
que no haya una asíntota vertical en x=a

Comprova la meva reposta (3)

3. La funció presenta en x=0 una discontinuidad...

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Comprova la meva reposta (3)

4. Cambia la función introduciendo la siguiente: f(x)=Si[x<0, x+1, x>0, x^2]. Explica qué modificaciones se han producido con respecto a la función anterior por lo que se refiere:

al valor de los límites laterales en x=0
al estudio de la continuidad de f en el mismo punto

Comproveu la vostra resposta

5. Ahora modifica el valor del punto por x=-1. ¿Cuál es el valor del límite de la función en este punto?

Comproveu la vostra resposta

6. Estudia, a partir del applet, la función f(x)=(x^2 - 4 x + 3)/(x - 1) en x=1.

¿Existe el límite de la función en x=1? ¿Por qué?
¿Existe f(1)?
Para todos los valores diferentes de x=1, ¿qué tipo de función hemos obtenido? ¿Por qué crees que ha pasado esto?
Estudia la continuidad de f en x=1. ¿Qué hace falta que suceda para que una función real de variable real sea continua en un punto x=a? ¿Qué tipo de discontinuidad presenta f en x=1?

Comproveu la vostra resposta

7. Estudia la función f(x)=Si[x<-1, 1/(x+1), x>=-1, 2 - 0.5 x^2] en el punto x=-1.

¿Cuál es el dominio de esta función?
Observando los límites laterales de f en x=-1, ¿cuál es el valor del límite de f en x=-1?
Estudia la continuidad de f en x=-1.

Comproveu la vostra resposta

8. ¿Cuándo una función presenta una discontinuidad asintótica en x=a?

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A
Cuando tiene alguna asíntota
B
Cuando alguno de los límites laterals de la funció en x=a és infinit
C
Cuando en una función racional se anula el denominador
D
Cuando alguno de los límites laterales de la función en x=a es infinito, y en el caso de las funciones racionales, cuando se anula el denominador.

Comprova la meva reposta (3)

9. Define y representa una función que tenga una discontinuidad evitable en x=-3, una de salto en x=0 y una asintótica en x=2.

10. Define y representa una función que tenga por dominio todos los valores reales y presente una asíntota vertical, una horizontal y una oblicua.

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